Москва
115409
Moscow
115409
В теории функции комплексного переменного хорошо известным фактом является принцип максимума модуля аналитической функции комплексной переменной, который состоит в том, что если функция аналитична в ограниченной области и непрерывна на ее границе, не является константой, то ее модуль достигает наибольшего значения лишь в точках границы. В литературе данное утверждение доказывается довольно громоздко методом от противного путем вычисления значения функции по замкнутому контуру с помощью интегральной формулы Коши. Было бы интересно получить другое, более простое доказательство принципа максимума модуля аналитической функции комплексной переменной. В данной статье приводится более простое, строгое доказательство принципа максимума модуля аналитической функции комплексной переменной. Модуль функции комплексной переменной рассматривается как функция двух переменных. В основе доказательства лежит вычисление частных производных первого и второго порядков от модуля функции, построния матрицы квадратичной формы на основе частных производных второго порядка и анализа знакоопределенности данной формы с помощью критерия Сильвестра. Доказано, что значение главного минора второго порядка меньше нуля внутри замкнутой области и, следовательно, модуль функции не имеет экстремума.
In the theory of functions of a complex variable, a well-known fact is the principle of maximum modulus of an analytic function of a complex variable, which states that if a function is analytic in a bounded domain and continuous on its boundary, is not a constant, then its modulus reaches its maximum value only at the points of the boundary. In the literature, this statement is proved rather cumbersome by contradiction by calculating the value of the function along a closed contour using the Cauchy integral formula. It would be interesting to obtain another, simpler proof of the principle of maximum modulus of an analytic function of a complex variable. This article provides a simpler, more rigorous proof of the maximum principle for the modulus of an analytic function of a complex variable. The modulus of a function of a complex variable is considered as a function of two variables. The proof is based on the calculation of partial derivatives of the first and second orders of the modulus of the function, the construction of a matrix of a quadratic form based on partial derivatives of the second order, and the analysis of the sign-definiteness of this form using the Sylvester criterion. It is proved that the value of the principal minor of the second order is less than zero inside the closed region and, therefore, the modulus of the function does not have an extremum.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.