vestnikmephiВестник НИЯУ МИФИVestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI"2304-487XNational Research Nuclear University "MEPhI"10.56304/S2304487X22030117vestnikmephi-234Research ArticleДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫDIFFERENTIAL EQUATIONS AND DYNAMIC SYSTEMSПример непрерывной нигде не дифференцируемой функции с модулем непрерывности, не превосходящим данногоExample of a Continuous Nowhere-Differentiable Function with the Modulus of Continuity not Exceeding a Given ValueТеляковскийД. С.TelyakovskiiD. S.

Москва

115409

Moscow

115409

dtelyakov@mail.ruНациональный исследовательский ядерный университет “МИФИ”РоссияNational Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute)Russian Federation202204032023113228–234Copyright © Теляковский Д.С., 20232023Теляковский Д.С.Telyakovskii D.S.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnikmephi.elpub.ru/jour/article/view/234

Для произвольного выпуклого вверх нелипшицева модуля непрерывности построена непрерывная нигде не дифференцируемая функция , модуль непрерывности которой не превосходит и которая в каждой точке имеет нулевое производное число. Построение следует конструкции непрерывной нигде не дифференцируемой функции, данной Б. Больцано. Если положить fω(z) = fω(x + iy) := ϕω(x), то fω(z) дает пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции (даже если рассматривать fω(z) как функцию двух действительных переменных), модуль непрерывности которой не превосходит ω(t) и которая в каждой точке имеет нулевое производное число вдоль двух неколлинеарных направлений. Автором было получено достаточное условие голоморфности, в котором вместо предположения о существовании f (z) у в точках ζ области производной по вдоль z множества Eζ определенного вида выполнение в точках ζ условия Липшица вдоль Eζ. Пример функции fω(z) показывает, что в этой теореме условие Липшица ослабить нельзя.

For an arbitrary convex non-Lipchitz modulus of continuity ω(t), we construct a continuous nowhere- differentiable function ϕω(x), whose modulus of continuity does not exceed ω(t) and that has zero derivative number at every point, is constructed. This construction follows the work of B. Bolzano for the continuous nowhere-differentiable function. The function fω(z) = fω(x + iy) := ϕω(x) is a continuous nowheredifferentiable function, even if it is considered as a function of two real variables, whose modulus of continuity does not exceed ω(t) and that has zero derivative number at every point along two noncollinear directions. A sufficient condition of analyticity is obtained in this work under the assumtption that the function satisfies of the Lipschitz condition at every point ζ along some set Eζ rather than the conventional assumption that the function has a derivative with respect to z at every point ζ along some set Eζ. Such a function fω(z) shows that the former assumption cannot be weakened in this theorem.

модуль непрерывностинигде не дифференцируемая функцияпроизводное числоmodulus of continuitynowhere-differentiable functionderivative numberReferencesЕфимов А.В. Линейные методы приближения непрерывных периодических функций // Матем. сб. 1961. Т. 54. Вып. 1. С. 51–90.Efimov A.V. Linejnye metody priblizheniya teorii funkcij i ih prilozheniya. [Linear methods of approximating continuous periodic functions]. Matematicheskij sbornik, 1961, vol. 54, iss.1, pp. 51–90. (Russian)Loud W.S. Functions with prescribed Lipschitz condition // Proc. Amer. Math. Soc. 1951. V. 2. № 3. P. 358–360.Loud W.S. Functions with prescribed Lipschitz condition. Proc. Amer. Math. Soc., 1951, vol. 2, no. 3, pp. 358–360.Marx I., Piranian G. Lipschitz functions of continuous functions // Pacific Jour. of Math. 1953. V. 3. № 2. P. 447–459.Marx I., Piranian G. Lipschitz functions of continuous functions. Pacific Jour. Of Math., 1953, vol. 3, no. 2, pp. 447–459.Рубинштейн А.И. Об -лакунарных рядах и о функциях классов // Матем. сб. 1964. Т. 65. Вып. 2. С. 239–271.Rubinshtein A.I. Ob ω-lakunarnyh ryadah i o funkciyah klassov Hω. [On ω-lacunary series and functions of the classes Hω]. Matematicheskij sbornik, 1964, vol. 2, pp. 239–271. (Russian)Теляковский Д.С. Об условиях моногенности. Современные проблемы теории функций и их приложения // Материалы 21-й международной Саратовской зимней школы. Саратов, 2022. С. 289–293.Telyakovskij D.S. Ob usloviyah monogennosti. Sovremennye problemy teorii funkcij i ih rilozheniya. [On monogeneity conditions. Modern problems of theory of functions and their applications]. Materialy 21-j mezhdunarodnoj Saratovskoj zimnej shkoly. [Proceedings of 21 international Saratov winter workshop]. Saratov, 2022, pp. 289–293. (Russian)Бржечка В.Ф. О функции Больцано (к столетию со дня смерти чешского математика Бернарда Больцано) // УМН. 1949. Т. 4. Вып. 2(30). С. 15–21.Brzhechka V.F. O funkcii Bol’cano (k stoletiyu so dnya smerti cheshskogo matematika Bernarda Bol’cano). [On the Bolzano function. (On the 100th anniversary of the death of the Czech mathematician Bernhard Bolzano)]. UMN, 1949, vol. 4, no. 2(30), pp. 15–21. (Russian)

The authors declare that there are no conflicts of interest present.