vestnikmephiВестник НИЯУ МИФИVestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI"2304-487XNational Research Nuclear University "MEPhI"10.26583/vestnik.2024.5.3KWHCTLvestnikmephi-363Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫMATHEMATICAL MODELS AND NUMERICAL METHODSОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИON A METHOD FOR CONSTRUCTING AN IRREGULAR GRID FOR THE ONE-DIMENSIONAL CONVECTION-DIFFUSION EQUATIONЛадыгинС. А.LadyginS. A.

кафедра «Прикладная математика» (№31), инженер

SALadygin@mephi.ruКарачуринР. Н.KarachurinR. N.

кафедра «Прикладная математика» (№31), инженер

RNKarachurin@mephi.ruШильниковК. Е.ShilnikovK. E.

кафедра «Прикладная математика» (№31), доцент

KEShilnikov@mephi.ruРябовП. Н.RyabovP. N.

кафедра «Прикладная математика» (№31), доцент

pnryabov@mephi.ruНациональный исследовательский ядерный университет «МИФИ», кафедра прикладной математикиРоссияNational Research Nuclear University «MEPhI», Department of Applied MathematicsRussian FederationНациональный исследовательский ядерный университет «МИФИ», кафедра прикладной математики; Московский физико-технический институт (МФТИ), кафедра вычислительной физикиРоссияNational Research Nuclear University «MEPhI», Department of Applied Mathematics; Moscow Institute of Physics and Technology (MIPT), Department of Computational PhysicsRussian Federation202405112024135303315Copyright © Ладыгин С.А., Карачурин Р.Н., Шильников К.Е., Рябов П.Н., 20242024Ладыгин С.А., Карачурин Р.Н., Шильников К.Е., Рябов П.Н.Ladygin S.A., Karachurin R.N., Shilnikov K.E., Ryabov P.N.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnikmephi.elpub.ru/jour/article/view/363

В данной работе предлагается новый метод построения нерегулярной сетки для численного решения задач, содержащих одномерное уравнение конвекции-диффузии, часто встречающегося в различных областях вычислительной математики, физики и химии. Традиционные подходы либо используют регулярные сетки с большим числом узлов, либо адаптивные сетки, требующие перестройки на каждом шаге решения, что может быть вычислительно затратным. Наш метод основан на преобразовании неоднородной сетки в равномерную с помощью функции локальных деформаций, определяемой на основе критерия монотонности. Это позволяет получать монотонное решение на сетке с существенно меньшим числом узлов, повышая тем самым экономичность разностной схемы. Мы рассматриваем как стационарное, так и нестационарное уравнения конвекции-диффузии, описывая соответствующие алгоритмы построения сеток для дивергентной и недивергентной форм записи конвективных членов. Приведены примеры применения метода к различным задачам, демонстрирующие его преимущества по сравнению с существующими подходами на регулярных сетках. Представленный подход сочетает в себе преимущества нерегулярных сеток для повышения эффективности решения и использование критерия монотонности для обеспечения устойчивости схемы, расширяя возможности численных методов для дифференциальных уравнений.

In this paper, we propose a new method for constructing an irregular grid for the numerical solution of problems containing a one-dimensional convection-diffusion equation, which is often encountered in various fields of computational mathematics, physics, and chemistry. Traditional approaches either use regular grids with a large number of nodes or adaptive grids that require rebuilding at each solution step, which can be computationally expensive. Our method is based on transforming a non-uniform grid into a uniform one using a local deformation function determined based on a monotonicity criterion. This allows us to obtain a monotonic solution on a grid with a significantly smaller number of nodes, thereby increasing the efficiency of the difference scheme. We consider both stationary and non-stationary convection-diffusion equations, describing the corresponding grid construction algorithms for divergent and non-divergent forms of recording convective terms. Examples of applying the method to various problems are given, demonstrating its advantages over existing approaches on regular grids. The presented approach combines the advantages of irregular grids to improve the solution efficiency and the use of a monotonicity criterion to ensure the stability of the scheme, expanding the capabilities of numerical methods for differential equations.

нерегулярные сеткидифференциальные уравненияуравнение конвекции-диффузиичисленные методыirregular gridsdifferential equationsconvection-diffusion equationnumerical methods.Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 23-41-00070, https://rscf.ru/project/23-41-00070/The study was supported by the Russian Science Foundation grant No. 23-41-00070, https://rscf.ru/project/23-41-00070/ReferencesГодунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию): Учебное пособие. М.: Наука, 1997.Godunov S.K., Ryaben’kii V.S. Raznostnye skhemy (vvedenie v teoriyu). Ucheb. pos., [Difference schemes (introduction to theory). Textbook]. Moscow, Nauka Publ., 1997.Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация / Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 318 с.Zenkevich O., Morgan K. Konechnye elementy i approksimatsiya [Finite Elements and Approximation]. Moscow, Mir Publ., 1986. 318 p. (in Russian).Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках // Математическое моделирование, 2001. Т. 13. № 2. С. 5–16.Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Raznostnye metody resheniya zadach matematicheskoi fiziki na neregulyarnykh setkakh [Difference methods for solving problems of mathematical physics on irregular grids]. Matematicheskoe modelirovanie, 2001. Vol. 13. No. 2. Pp. 5–16 (in Russian).Ladygin S.A., Karachurin R.N., Ryabov P.N., Kudryashov N.A. On Specifi Features of an Approach Based on Feedforward Neural Networks to Solve Problems Based on Differential Equations // Physics of Atomic Nuclei, 2023. V. 86. № 10. P. 2231–2240.Ladygin S.A., Karachurin R.N., Ryabov P.N., Kudryashov N.A. On Specifi Features of an Approach Based on Feedforward Neural Networks to Solve Problems Based on Differential Equations // Physics of Atomic Nuclei, 2023. Vol. 86. No. 10. Pp. 2231–2240.Karachurin R.N., Ladygin S.A., Ryabov P.N., Shilnikov K.E., Kudryashov N.A. Exploring the Efficiency of Neural Networks for Solving Dynamic Process Problems: The Fisher Equation Investigation // Biologically Inspired Cognitive Architectures Meeting. Cham: Springer Nature Switzerland, 2023. P. 504–511.Karachurin R.N., Ladygin S.A., Ryabov P.N., Shilnikov K.E., Kudryashov N.A. Exploring the Efficiency of Neural Networks for Solving Dynamic Process Problems: The Fisher Equation Investigation. Biologically Inspired Cognitive Architectures Meeting. Cham: Springer Nature Switzerland, 2023. Pp. 504–511.Linß T. Layer-adapted meshes for convection–diffusion problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2003. V. 192. № 9–10. P. 1061–1105.Linß T. Layer-adapted meshes for convection-diffusion problems.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2003. Vol. 192. No. 9–10. Pp. 1061–1105.Roos H.G. Robust numerical methods for singularly perturbed differentia equations: a survey covering 2008–2012 // International Scholarly Research Notices, 2012. V. 2012. №. 1. P. 379547.Roos H.G. Robust numerical methods for singularly perturbed differentia equations: a survey covering 2008–2012. International Scholarly Research Notices, 2012. Vol. 2012. No. 1. Pp. 379547.Kuzmin D., Turek S. Flux correction tools for finite elements // Journal of Computational Physics, 2002. V. 175. № 2. P. 525–558.Kuzmin D., Turek S. Flux correction tools for finite elements. Journal of Computational Physics, 2002. Vol. 175. No. 2. Pp. 525–558.Мажукин А.В., Мажукин В.И. Динамическая адаптация в параболических уравнениях // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007. Т. 47. №. 11. С. 1913–1936.Mazhukin A.V., Mazhukin V.I. Dinamicheskaya adaptatsiya v parabolich-eskikh uravneniyakh [Dynamic adaptation in parabolic equations]. Zhurnal vychislitel’noi matematiki i matematicheskoi fiziki, 2007. Vol. 47. No. 11. Pp. 1913–1936 (in Russian).Shilnikov K.E., Kochanov M.B. On one approach for the numerical solving of hyperbolic initial-boundary problems on an adaptive moving grids // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2023. V. 421. P. 114884.Shilnikov K.E., Kochanov M.B. On one approach for the numerical solving ofhyperbolic initial-boundary problems on an adaptive moving grids. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2023. Vol. 421. Pp. 114884.Shilnikov K.E., Kochanov M.B. Numerical solution of two-dimensional (2D) nonlinear heat conductivity problem on moving grids //Journal of Physics: Conference Series, 2020. V. 1686. № 1. P. 012038.Shilnikov K.E., Kochanov M.B. Numerical solution of two-dimensional (2D) nonlinear heat conductivity problem on moving grids. Journal of Physics: Conference Series, 2020. Vol. 1686. No. 1. Pp. 012038.Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузиии М.: УРСС, 2003. 246 с.Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Chislennye metody resheniya zadachkonvektsii-diffuzii [Numerical methods for solving convection-diffusion problems], Moscow, URSS Publ., 2003. 246 p.Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 432 с.Samarskii A.A., Gulin A.V. Chislennye metody. Uchebnoje posobie dlya vuzov [Numerical methods. Textbook, manual for universities]. Moscow, Nauka Publ., 1989. 432 p.Chan R.H., Guo Y.Z., Lee S.T., Li X. Black–Scholes–Merton Model for Option Pricing // Financial Mathematics, Derivatives and Structured Products. Singapore: Springer Nature Singapore, 2024. P. 155–171.Chan R.H., Guo Y.Z., Lee S.T., Li X. Black–Scholes–Merton Model for Option Pricing. Financial Mathematics, Derivatives and Structured Products. Singapore, Springer Nature Singapore, 2024. Pp. 155–171.Risken H., Risken H. Fokker-planck equation // Springer Berlin Heidelberg, 1996. P. 63–95.Risken H., Risken H. Fokker-planck equation. Springer Berlin Heidelberg, 1996. Pp. 63–95.Kolmogorov A. Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeits theorie // Math Annal, 1931. V. 104. P. 415–458.Kolmogorov A. Ber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeits theorie. Math Annal, 1931. Vol. 104. Pp. 415–458.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.