Доктор физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики
Доктор физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики
В статье проведен групповой анализ нелинейных уравнений в частных производных второго порядка, моделирующих распространение сдвиговых волн в нелинейно-упругой цилиндрической оболочке, взаимодействующей с внешней упругой средой. Уравнения содержат кубическую нелинейность и обобщают известные модели Линя – Рейсснера – Тзяна и Хохлова – Заболотской. Найдены их классические симметрии с использованием универсального алгоритма коммутативной алгебры, состоящего в построении базиса Гребнера системы определяющих уравнений для нахождения явного вида производящей функции группы симметрий. Для построения решений, инвариантных относительно группы сдвигов в пространстве независимых переменных, использован метод годографа, позволивший перейти от нелинейного уравнения в частных производных к системе линейных уравнений с переменными коэффициентами. Для автомодельного режима, инвариантного относительно растяжений, получено нелинейное уравнение, линейная часть которого точно решена в терминах функций Бесселя и тригонометрических функций. Установлены условия, необходимые для физической реализуемости точных решений.
The article provides a group analysis of nonlinear second-order partial differential equations that model the propagation of shear waves in a nonlinear elastic cylindrical shell interacting with an external elastic medium. The equations contain cubic nonlinearity and generalize the well-known models of Lin – Reissner – Tsian and Khokhlov – Zabolotskaya. Their classical symmetries are found using a universal algorithm of commutative algebra, which consists of constructing a Gröbner basis of a system of defining equations to find the explicit form of the generating function of the symmetry group. To construct solutions that are invariant under a group of shifts in the space of independent variables, the hodograph method was used, which made it possible to move from a nonlinear partial differential equation to a system of linear equations with variable coefficients. For the self-similar regime, invariant under extensions, a nonlinear equation is obtained, the linear part of which is exactly solved in terms of Bessel functions and trigonometric functions. The conditions necessary for the physical realizability of exact solutions are established.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.