Обратная задача определения коэффициента поглощения в вырождающемся параболическом уравнении дивергентного вида с одной пространственной переменной

Аннотация

Изучается нелинейная обратная задача определения неизвестного, зависящего от t, коэффициента поглощения в одномерном по пространственным переменным параболическом уравнении со слабо вырождающейся главной частью, которая задана в дивергентной форме. Дополнительное условие наблюдения задается в интегральной форме. Физически это означает, например, измерение температуры, датчиком конечного размера, установленном во внутренней точке области. Решение понимается в обобщенном смысле, в частности, неизвестный коэффициент поглощения ищется в пространстве L₂(0, T). Коэффициенты уравнения могут зависеть как от временной, так и от пространственной переменных. Вырождение уравнения также допускается как по временной, так и по пространственной переменным. Множество точек вырождения может быть и бесконечным, но должно иметь меру нуль. Доказаны теоремы существования и единственности решения. Существование решения доказано в малом по времени, теорема единственности носит глобальный характер. Для доказательства существования решения обратной задачи последняя сводится к изучению разрешимости некоторого операторного уравнения, и показывается, что при наложенных в работе условиях оператор является сжимающим.