О редукции одной системы уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений

   Рассматривается система уравнений Максвелла в приближении Дарвина. В основе исследования системы лежит редукция систем уравнений с частными производными (линейных и нелинейых) к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (системам ОДУ). В качестве независимой переменной в системах ОДУ выбирается переменная ψ, где ψ(x, y, z, t) = const – поверхность уровня некоторых функций. Редукция основана на построении расширенной системы уравнений характеристик (базовой системы) для уравнения в частных производных первого порядка (базового уравнения), которому удовлетворяет поверхность уровня выбранных функций. К базовой системе присоединяются в качестве первых интегралов все необходимые соотношения для получения системы ОДУ рассматриваемой системы уравнений в частных производных. Для поиска поверхностей уровня решений рассматриваемой системы уравнений применяются как ранее описанные в ряде статей авторов подходы, так и предложенные вновь варианты развиваемого авторами метода. Выписаны три системы ОДУ с разными независимыми переменными (различными функциями ψ(x, y, z, t). Показано, что получение поверхности уровня в каждом из рассматриваемых подходов имеет функциональный произвол. Получены некоторые точные решения рассматриваемой системы уравнений в частных производных. В качестве примера для одной из систем ОДУ, множество решений которой зависит от выбора произвольной функции g(ψ) в базовом уравнении ψ_t = g(ψ), выписано решение для случая, когда g(ψ) = ψ. Приведено решение задачи определения безвихревого электромагнитного поля по заданному распределению зарядов.

1. Розанов Н. Н. Специальные разделы математической физики. Часть I: Электромагнитные волны в вакууме / Н. Н. Розанов. – СПб.: СПб ГУИТМО, 2005. – 60 с.

2. Скубачевский А. А. Численное решение уравнений Максвелла для моделирования распространения электромагнитных волн / А. А. Скубачевский, Н. И. Хохлов // Труды МФТИ. – 2016. – Т. 8. – № 3. – С. 121–130.

3. Денисенко В. В. Энергетический метод построения гармонических по времени решений уравнений Максвелла / В. В. Денисенко // Сибирский математический журнал. – 2011. – Т. 52. – № 2. – С. 265–282.

4. Ремнев М. А. Метаповерхности: новый взгляд на уравнения Максвелла и новый метод управления светом / М. А. Ремнев, В. В. Климов // УФН. – 2018. – Т. 188. – № 2. – С. 169–205. doi: 10.3367/UFNr.2017.08.038192

5. Перепелкин Е. Е. Точное решение задачи пространственного заряда для движения сферически симметричного пучка в однородном электрическом поле / Е. Е. Перепелкин, Н. П. Репникова, Н. Г. Иноземцева // Матем. замети. – 2015. – Т. 98. – Вып. 3. – С. 386–392. doi: 10.4213/mzm10816

6. Брушлинский К. В. Математические модели равновесных конфигураций плазмы, окружающей проводники с током / К. В. Брушлинский, Е. В. Степин // Дифференц. уравнения. – 2020. – Т. 56. – № 7. – С. 901–909. doi: 10.1134/S0374064120070067

7. Тришин В. Н. Об изотропных решениях уравнений Максвелла / В. Н. Тришин // Наука и образование: научное издание МГТУ им. Н. Э. Баумана. – 2012. – № 11. – С. 183–188. doi: 10.7463/1112.0489647

8. Волотовский С. Г. Решение уравнений Максвелла в пространственно-частотном представлении / С. Г. Волотовский, П. Г. Серафимович, С. И. Харитонов // Компьютерная оптика. – 2000. – Вып. 20. – С. 5–9.

9. Бородачев Л. В. Система Власова–Дарвина / Л. В. Бородачев, И. В. Мингалев, О. В. Мингалев ; ред. В. Е. Фортов // В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Сер. Б. Т. VII-1/3 “Математическое моделирование в низкотемпературной плазме”. – М.: Янус-К, 2008. – С. 140–150.

10. Liao C., Ying L. An analysis of the Darwin model of approximation to Maxwell’s equations in 3-D unbounded domains // Communications in Mathematical Sciences. 2008. V. 6. № 3. P. 695–710. doi: 10.4310/CMS.2008.V6.N3.A8

11. Ульянов О. Н. О некоторых решениях одной системы уравнений плазмостатики / О. Н. Ульянов, Л. И. Рубина // Вестник НИЯУ МИФИ. – 2021. – Т. 10. – № 1. – С. 12–18. doi: 10.1134/S2304487X20060103

12. Сидоров А. Ф. Метод дифференциальных связей и его приложения к газовой динамике / А. Ф. Сидоров, В. П. Шапеев, Н. Н. Яненко. – Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. – 1984. – 271 с.

13. Courant R., Hilbert D. Methods of mathematical physics. Vol.: Partial differential equations. N. Y.: Interscience, 1962. 830 p.

14. Рубина Л. И. Об одном методе решения уравнения нелинейной теплопроводности / Л. И. Рубина, О. Н. Ульянов // Сибирский математический журнал. – 2012. – Т. 53. – № 5. – С. 1091–1101. doi: 10.1134/S0037446612050126