Применение метода Мельникова для анализа уравнения Бисваса–Аршеда

   Рассматривается уравнение Бисваса–Аршеда (Biswas–Arshed), описывающее распространение импульсов в оптическом волокне. Используя переменные бегущей волны, нелинейное уравнение в частных производных третьего порядка преобразуется к динамической системе. Найдены и проанализированы стационарные точки полученной динамической системы без учета внешней силы и исследована их устойчивость. Результаты исследования представлены в таблице, где для каждой из точек указан тип устойчивости в зависимости от значений параметров уравнения. Определены параметры, при которых система имеет гомоклинические и гетероклинические орбиты. С помощью метода Мельникова показано, что при некоторых значениях параметров математической модели в системе может возникать гомоклинический хаос. Построена бифуркационная диаграмма по одному из параметров системы. Полученные при численном анализе результаты согласуются с полученными теоретически с использованием метода Мельникова.

1. Гукенхеймер Дж. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей / Дж. Гукенхеймер, Ф. Холмс. – Москва–Ижевск: ИКИ, 2002. – 561 с.

2. Кузнецов С. П. Динамический хаос / С. П. Кузнецов. – М.: Физматлит, 2001. – 296 с.

3. Лоскутов А. Ф. Динамический хаос. Системы классической механики / А. Ф. Лоскутов // Успехи физических наук. – 2007. – Т. 177. – № 9. – С. 989–1015.

4. Lakshmanan M., Rajasekar S. Nonlinear Dynamics: Integrability, Chaos, and Patterns. Berlin: Springer, 2003. 627 p.

5. Kudryashov N. A. Periodic and solitary waves of the Biswas–Arshed equation // Optik, 2020. V. 200. 163442.

6. Siewe Siewe M., Tchawouab C., Woafo P. Melnikov chaos in a periodically driven Rayleigh–Duffing oscillator // Mechanics Research Communications, 2010. V. 37. Is. 4. P. 363–368.

7. Лаврова С. Ф. Метод Мельникова для обобщенного уравнения Дуффинга / С. Ф. Лаврова, Н. А. Кудряшов // Вестник НИЯУ МИФИ. – 2021. – Т. 10. – № 2. – С. 135–142.

8. Лаврова С. Ф. Применение метода Мельникова к уравнению Трики–Бисваса / С. Ф. Лаврова, Н. А. Кудряшов // Вестник НИЯУ МИФИ. – 2021. – Т. 10. – № 4. – С. 308–317.

9. Лаврова С. Ф. Нелинейные динамические процессы, описываемые обобщенным уравнением Курамото–Сивашинского в переменных бегущей волны / С. Ф. Лаврова, Н. А. Кудряшов // Вестник НИЯУ МИФИ. – 2020. – Т. 9. – № 2. – С. 129–138.

10. Biswas A., Arshed S. Optical solitons in presence of higher order dispersion and absence of self-phase modulation // Optik, 2018. V. 184. P. 452–459.