Первые интегралы одного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка

В работе находятся первые интегралы для одного автономного обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка, полученного как частный случай одного из высших аналогов уравнения Пенлеве. С помощью алгоритма С.В. Ковалевской рассматриваемое уравнение исследуется на наличие свойства Пенлеве. Показано, что с помощью теста Пенлеве нельзя установить условия, необходимые для отсутствия критических подвижных особых точек у общего решения. Подробно рассматриваются два частных случая исследуемого уравнения, с конкретными значениями входящих в него параметров. Для нахождения первых интегралов полученных уравнений используется предположение об их линейной зависимости от старшей производной. Показано, что одно из полученных уравнений третьего порядка также имеет первый интеграл аналогичного вида, а наличие у него свойства Пенлеве не может быть установлено используемыми в работе подходами. Найденный первый интеграл этого уравнения используется для приведения уравнения к уравнению второго порядка. Показано, что полученное уравнение не обладает первым интегралом вида, аналогичного случаям уравнения третьего и четвертого порядка.

1. Kydryashov N. A. Fourth-order analogies to the Painlevé equations // J. Phys. A: Math. and Theor. 2002. V. 35. P. 4617–4632. doi: 10.1088/0305-4470/35/21/310

2. Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. A connection between nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of P-type // J. Math. Phys. 1980. V. 21. P. 715–721, 1006–1015.

3. Ablowitz M. J., Ramani A., Segur H. Nonlinear evolution equations and ordinary differential equations of Painlevé type // Lett. al Nuovo Cim. 1978. V. 23. P. 333–338.

4. Кудряшов Н .А. Методы нелинейной математической физики / Н. А. Кудряшов. –Долгопрудный: Интеллект, 2010. – 364 с.