ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ПОСТРОЕНИЯ НЕРЕГУЛЯРНОЙ СЕТКИ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ

В данной работе предлагается новый метод построения нерегулярной сетки для численного решения задач, содержащих одномерное уравнение конвекции-диффузии, часто встречающегося в различных областях вычислительной математики, физики и химии. Традиционные подходы либо используют регулярные сетки с большим числом узлов, либо адаптивные сетки, требующие перестройки на каждом шаге решения, что может быть вычислительно затратным. Наш метод основан на преобразовании неоднородной сетки в равномерную с помощью функции локальных деформаций, определяемой на основе критерия монотонности. Это позволяет получать монотонное решение на сетке с существенно меньшим числом узлов, повышая тем самым экономичность разностной схемы. Мы рассматриваем как стационарное, так и нестационарное уравнения конвекции-диффузии, описывая соответствующие алгоритмы построения сеток для дивергентной и недивергентной форм записи конвективных членов. Приведены примеры применения метода к различным задачам, демонстрирующие его преимущества по сравнению с существующими подходами на регулярных сетках. Представленный подход сочетает в себе преимущества нерегулярных сеток для повышения эффективности решения и использование критерия монотонности для обеспечения устойчивости схемы, расширяя возможности численных методов для дифференциальных уравнений.

1. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию): Учебное пособие. М.: Наука, 1997.

2. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация / Пер. с англ. М.: Мир, 1986. 318 с.

3. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Разностные методы решения задач математической физики на нерегулярных сетках // Математическое моделирование, 2001. Т. 13. № 2. С. 5–16.

4. Ladygin S.A., Karachurin R.N., Ryabov P.N., Kudryashov N.A. On Specifi Features of an Approach Based on Feedforward Neural Networks to Solve Problems Based on Differential Equations // Physics of Atomic Nuclei, 2023. V. 86. № 10. P. 2231–2240.

5. Karachurin R.N., Ladygin S.A., Ryabov P.N., Shilnikov K.E., Kudryashov N.A. Exploring the Efficiency of Neural Networks for Solving Dynamic Process Problems: The Fisher Equation Investigation // Biologically Inspired Cognitive Architectures Meeting. Cham: Springer Nature Switzerland, 2023. P. 504–511.

6. Linß T. Layer-adapted meshes for convection–diffusion problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2003. V. 192. № 9–10. P. 1061–1105.

7. Roos H.G. Robust numerical methods for singularly perturbed differentia equations: a survey covering 2008–2012 // International Scholarly Research Notices, 2012. V. 2012. №. 1. P. 379547.

8. Kuzmin D., Turek S. Flux correction tools for finite elements // Journal of Computational Physics, 2002. V. 175. № 2. P. 525–558.

9. Мажукин А.В., Мажукин В.И. Динамическая адаптация в параболических уравнениях // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2007. Т. 47. №. 11. С. 1913–1936.

10. Shilnikov K.E., Kochanov M.B. On one approach for the numerical solving of hyperbolic initial-boundary problems on an adaptive moving grids // Journal of Computational and Applied Mathematics, 2023. V. 421. P. 114884.

11. Shilnikov K.E., Kochanov M.B. Numerical solution of two-dimensional (2D) nonlinear heat conductivity problem on moving grids //Journal of Physics: Conference Series, 2020. V. 1686. № 1. P. 012038.

12. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузиии М.: УРСС, 2003. 246 с.

13. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1989. 432 с.

14. Chan R.H., Guo Y.Z., Lee S.T., Li X. Black–Scholes–Merton Model for Option Pricing // Financial Mathematics, Derivatives and Structured Products. Singapore: Springer Nature Singapore, 2024. P. 155–171.

15. Risken H., Risken H. Fokker-planck equation // Springer Berlin Heidelberg, 1996. P. 63–95.

16. Kolmogorov A. Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeits theorie // Math Annal, 1931. V. 104. P. 415–458.