Bessel Functions of a Real Order and Krein’s Series
https://doi.org/10.56304/S2304487X19040102
Abstract
Our previous studies were devoted to Bessel functions of the first kind Jν(z) and modified Bessel functions of the first kind Jν(z) (Infeld functions) with the parameter ν > –1. In this work, Bessel functions of the first kind of an arbitrary real order ν are considered. All the zeros of any such function are simple, and only a finite number of zeros (regulated by the Hurwitz theorem) can be located outside the real line. An auxiliary even entire function of the exponential type L(z, ν) constructed with respect to Jν(z) and having the same nontrivial zeros is involved, allowing the application of the well-developed entire function method. The problem of expanding the function 1/L(z, ν) into a series of simple fractions with a special structure (Krein’s type series) has been studied. This general representation is used to derive formulas for calculating special series containing negative powers of zeros of the Bessel function Jν(z). Particular attention is focused on integer and semi-integer orders ν. Examples of specific expansions of 1/Jν(z) and the corresponding summation formulas for various parameters ν are given.
About the Authors
V. B. Sherstyukov
National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute)
Russian Federation
Russian Federation
115409
Moscow
E. V. Sumin
National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute)
Russian Federation
Russian Federation
115409
Moscow
References
1. Сумин Е. В. Применение рядов Крейна к вычислению сумм, содержащих нули функций Бесселя / Е. В. Сумин, В. Б. Шерстюков // Журнал вычисл. матем. и матем. физ. – 2015. – Т. 55. – № 4. – С. 575–581.
2. Шерстюков В. Б. Разложение на простые дроби обратной величины модифицированной функции Бесселя и получение общих суммационных соотношений, содержащих ее нули / В. Б. Шерстюков, Е, В. Сумин // Вестник НИЯУ МИФИ. – 2017. – Т. 6. – № 5. – С. 449–452.
3. Крейн М. Г. К теории целых функций экспоненциального типа / М. Г. Крейн // Изв. АН СССР. Серия матем. – 1947. – Т. 11. – № 4. – С. 309–326.
4. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций / Б. Я. Левин. – М.: Гостехиздат, 1956.
5. Шерстюков В. Б. Разложение обратной величины целой функции с нулями в полосе в ряд Крейна / В. Б. Шерстюков // Матем. сб. – 2011. – Т. 202. – № 12. – С. 137–156.
6. Шерстюков В. Б. Асимптотические свойства целых функций с заданным законом распределения корней / В. Б. Шерстюков // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. – Т. 161. – М.: ВИНИТИ РАН, 2019. – С. 104–129.
7. Керимов М. К. Исследования о нулях специальных функций Бесселя и методах их вычисления / М. К. Керимов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2014. – Т. 54. – № 9. – С. 1387–1441.
8. Керимов М. К. Исследования о нулях специальных функций Бесселя и методах их вычисления. II. Свойства монотонности, выпуклости, вогнутости и др. / М. К. Керимов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. –2016. – Т. 56. – № 7. – С. 1200–1235.
9. Керимов М. К. Исследования о нулях специальных функций Бесселя и методах их вычисления. III. Некоторые новые работы о нулях, посвященные свойствам монотонности, выпуклости и др. / М. К. Керимов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2016. – Т. 56. – № 12. – С. 1986–2030.
10. Керимов М. К. Исследования о нулях специальных функций Бесселя и методах их вычисления. IV. Неравенства, оценки, разложения и др. для нулей функций Бесселя / М. К. Керимов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. – 2018. – Т. 58. – № 1. – С. 3–41.
11. Olver F. W.J., Lozier D. W., Boisvert R. F., Clark C. W. Handbook of mathematical functions. Cambridge, New York: NIST and Cambridge University Press, 2010.
12. Hall L. S. Bessel function of complex order and its zeros // Math. Proc. of Cambridge Phil. Soc. 1967. Vol. 63. № 1. P. 141–146.
13. Matyshev A. A., Fohtung E. On the computation and applications of Bessel functions with pure imaginary indices // arXiv: 0910.0365v1 [math-ph] 2 Oct 2009.
14. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций / Г. Н. Ватсон. – Т. 1, 2. – М.: ИЛ, 1949.
15. Лаврентьев М. А. Методы теории функций комплексного переменного / М. А. Лаврентьев, Б. В. Шабат. – М.: Наука, 1987.
16. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.: Наука, 1972.
17. Forsyth A. R. The expression of Bessel functions of positive order as products, and of their inverse powers as sums of rational fractions // Messenger of Math. 1920–1921. Vol. L. P. 129–149.
Review
For citations:
Sherstyukov V.B., Sumin E.V. Bessel Functions of a Real Order and Krein’s Series. Vestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI". 2019;8(5):437-444. (In Russ.) https://doi.org/10.56304/S2304487X19040102
Views:
124
Email this article 