Аналитические решения и редукции нелинейного уравнения геофизической гидродинамики
https://doi.org/10.26583/vestnik.2026.1.6
EDN: ROURGW
Аннотация
Исследуется сильно нелинейное нестационарное уравнение типа Монжа – Ампера с тремя независимыми переменными, которое встречается в геофизической гидродинамике. Получен ряд точных аналитических решений с аддитивным, мультипликативным, обобщенным и функциональным разделением переменных. Особое внимание уделено построению точных решений в замкнутой форме, которые выражаются через элементарные функции. Рассмотрены двумерные редукции, приводящие к более простым уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными (включая стационарные уравнения типа Монжа – Ампера, линейное волновое уравнение и др.). Описаны некоторые одномерные редукции, позволяющие получать решения, удовлетворяющие обыкновенным дифференциальным уравнениям или системам таких уравнений. Полученные результаты и точные решения могут быть использованы для оценки точности и анализа адекватности численных и приближенных аналитических методов решения задач, описываемых сильно нелинейными уравнениями в частных производных.
Ключевые слова
уравнения типа Монжа – Ампера,
сильно нелинейные уравнения с частными производными,
геофизическая гидродинамика,
точные аналитические решения,
двумерные и одномерные редукции.
При поддержке: Работа выполнена по темам государственного задания (№№ госрегистрации 124012500440-9 и FSWU-2023-0031).
Об авторах
А. В. Аксенов
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
заведующий кафедрой гидромеханики
IstinaResearcherID (IRID): 723647
ResearcherID: AAF-8791-2019
Scopus Author ID: 35346317300
MathSciNet MR Author ID: 290112
А. Д. Полянин
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
главный научный сотрудник
Список литературы
1. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969.
2. Caffarelli L.A., Milman M.(eds). Monge–Ampère Equation: Applications to Geometry and Optimization. Providence: Amer. Math. Soc., 1999.
3. Martin M.N. The propagation of a plane shock into a quiet atmosphere // Canad. J. Math., 1953. V. 3. P. 165–187.
4. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, изд. 2-е. М.: Наука, 1978.
5. Hill J.M., Arrigo D.J. New families of exact solutions for finitely deformed incompressible elastic materials // IMA J. Appl. Math., 1995. V. 54. P. 109–123.
6. Hill J.M., Arrigo D.J. Transformations and equation reductions in finite elasticity I: Plane strain deformations // Math. & Mech. Solids, 1996. V. 1. P. 155–175.
7. Smirnov V.V., Chukbar K.V. “Phonons” in two-dimensional vortex lattices // J. Exper. Theor. Phys., 2001. V. 93. P. 126–135.
8. Zaburdaev V.Yu., Smirnov V.V., Chukbar K.V. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices // Plasma Phys. Reports, 2014. V. 30. № 3. P. 214–217.
9. Розендорн Э.Р. Некоторые классы частных решений уравнения и их приложение к задачам метеорологии // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1984. № 2. С. 56–58.
10. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.
11. Аксенов А.В., Полянин А.Д. Обзор по точным решениям и редукциям уравнений типа Монжа – Ампера // Теор. & мат. физика, 2025. Т. 224. № 3. С. 494–537.
12. Хабиров С.В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с помощью контактной группы неоднородного уравнения Монжа – Ампера // Мат. сборник, 1990. Т. 181. № 12. С. 1607–1622.
13. Ibragimov N.H. (ed.) CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 1, Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws. Boca Raton: CRC Press, 1994.
14. Polyanin A.D. Handbook of Exact Solutions to Mathematical Equations. Boca Raton: CRC Press, 2026.
15. Fushchich W.I., Shtelen W.M, Serov N.I. Symmetry Analysis and Exact Solutions of Equations of Nonlinear Mathematical Physics. Dordrecht: Kluwer Academic, 1993.
16. Рахмелевич И.В. Многомерное уравнение Монжа – Ампера со степенными нелинейностями по первым производным // Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика. Математика, 2020. № 2. С. 86–98.
17. Косов А.А., Семенов Э.И. О многомерных точных решениях обобщенного уравнения Монжа – Ампера // Дифференциальные уравнения, 2024. Т. 60. № 10. С. 1334–1349.
18. Косов А.А., Семенов Э.И. Обобщенное уравнение типа Монжа – Ампера и его многомерные точные решения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2025. Т. 35. № 2. С. 215–230.
19. Dubinov A.E., Kitayev I.N. New exact solutions of the equation of non-linear dynamics of a lattice of electronic vortices in plasma in the framework of electron magnetohydrodynamics // Magnetohydrodynamics, 2020. V. 56. № 4. P. 369–375.
20. Рахмелевич И.В. Неавтономное эволюционное уравнение типа Монжа – Ампера с двумя пространственными перемнными // Известия вузов. Математика, 2023. № 2. С. 66–80.
21. Аксенов А.В., Полянин А.Д. Групповой анализ, редукции и точные решения уравнения Монжа – Ампера магнитной гидродинамики // Дифференциальные уравнения, 2024. Т. 60. № 6. С. 750–763.
22. Polyanin A.D., Aksenov A.V. Unsteady magnetohydrodynamics PDE of Monge–Ampère type: Symmetries, closed-form solutions, and reductions // Mathematics, 2024. V. 12. № 13. 2127.
23. Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2007.
24. Aksenov A.V., Polyanin A.D. Symmetries, reductions and exact solutions of nonstationary Monge–Ampère type equations // Mathematics, 2025. V. 13. № 3. 525.
25. Рахмелевич И.В. Многомерное неавтономное эволюционное уравнение типа Монжа – Ампера // Владикавк. мат. журн., 2023. Т. 25. № 1. С. 64–80.
26. D’Onofrio R., Ortenzi G., Roulstone I., Rubtsov V. Solutions and singularities of the semigeostrophic equations via the geometry of Lagrangian submanifolds // Proc. R. Soc. A, 2023. V. 479. 20220682.
27. Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs. CRC Press: Boca Raton, 2022.
28. Aksenov A.V., Polyanin A.D. Methods for constructing complex solutions of nonlinear PDEs using simpler solutions // Mathematics, 2021. V. 9. 345.
29. Polyanin A.D., Kudryashov N.A. Closed-form solutions of the nonlinear Schrödinger equation with arbitrary dispersion and potential // Chaos, Solitons & Fractals, 2025. V. 191. 115822.
30. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3. Ч. 1. М.: Гостехиздат, 1933.
31. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики, 7-е изд. М.: Изд-во МГУ, 2004.
Рецензия
Для цитирования:
Аксенов А.В., Полянин А.Д. Аналитические решения и редукции нелинейного уравнения геофизической гидродинамики. Вестник НИЯУ МИФИ. 2026;15(1):62-79. https://doi.org/10.26583/vestnik.2026.1.6. EDN: ROURGW
For citation:
Aksenov A.V., Polyanin A.D. Analytical solutions and reductions of the nonlinear equation of geophysical hydrodynamics. Vestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI". 2026;15(1):62-79. (In Russ.) https://doi.org/10.26583/vestnik.2026.1.6. EDN: ROURGW
Просмотров:
191
JATS XML
Послать статью по эл. почте 