Качественные особенности численного интегрирования задач с пограничным слоем с помощью нелокальных преобразований

   Описаны качественные особенности численного интегрирования двухточечных краевых задач погранслойного типа с помощью нелокальных преобразований. Такие преобразования, которые иногда называются также преобразованиями типа Сундмана, задаются с помощью вспомогательного дифференциального уравнения и позволяют “растягивать” область пограничного слоя (после чего уже можно применять любые адекватные численные методы с постоянным шагом). Приведены имеющие точные решения в элементарных функциях многопараметрические нелинейные сингулярно возмущенные краевые задачи с малым параметром, которые можно использовать для тестирования различных численных методов с неравномерной сеткой. Особое внимание уделяется исследованию наиболее сложных для численного анализа краевых задач, которые имеют немонотонные решения или вырождаются на границе пограничного слоя. Сопоставление численных и точных решений показывает высокую эффективность метода нелокальных преобразований в краевых задачах с пограничным слоем.

1. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости / М. Ван-Дайк. – М.: Мир, 1967.

2. Kevorkian J., Cole J. D. Perturbation Methods in Applied Mathematics. New York: Springer, 1981.

3. Lagerstrom P. A. Matched Asymptotic Expansions. Ideas and Techniques. New York: Springer, 1988.

4. Il’in A. M. Matching of Asymptotic Expansions of Solutions of Boundary Value Problems. Providence: American Mathematical Society, 1992.

5. Nayfeh A. H. Perturbation Methods. New York: Wiley–Interscience, 2000.

6. Polyanin A. D., Kutepov A. M., Vyazmin A. V., Kazenin D. A. Hydrodynamics, Mass and Heat Transfer in Chemical Engineering. London: Taylor & Francis, 2002.

7. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton–London: Chapman & Hall / CRC Press, 2003.

8. Verhulst F. Methods and Applications of Singular Perturbations, Boundary Layers and Multiple Timescale Dynamics. New York: Springer, 2005.

9. Бахвалов Н. С. К оптимизации методов решения краевых задач при наличии пограничного слоя / Н. С. Бахвалов // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. – 1969. – Т. 9. – № 4. – С. 841–859.

10. Ильин А. М. Разностная схема для дифференциального уравнения с малым параметром при старшей производной / А. М. Ильин // Мат. заметки. – 1969. – Т. 6. – № 2. – С. 237–248.

11. Vulanovic R. A uniform numerical method for quasilinear singular perturbation problems without turning points // Computing. 1989. V. 41. № 1. P. 97–106.

12. Jain M. K., Iyengar S. R. K., Subramanyam G. S. Variable mesh methods for the numerical solution of two-point singular perturbation problems // Comp. Methods in Appl. Mech. Eng. 1984. V. 42. № 3. P. 273–286.

13. Шишкин Г. И. Сеточные аппроксимации сингулярно возмущенных эллиптических и параболических уравнений / Г. И. Шишкин. – Екатеринбург: УрО РАН, 1992.

14. Beckett G., Mackenzie J. A. Convergence analysis of finite difference approximations on equidistributed grids to a singularly perturbed boundary value problem // Appl. Numer. Math. 2000. V. 35. № 2. P. 87–109.

15. Farrell P., Hegarty A., Miller J. M., O’Riordan E., Shishkin G. I. Robust Computational Techniques for Boundary Layers. Boca Raton–London: Chapman & Hall / CRC Press, 2000.

16. Qiu Y., Sloan D. M., Tang T. Numerical solution of a singularly perturbed two-point boundary value problem using equidistribution, analysis of convergence // J. Comput. Appl. Math. 2000. V. 116. № 1. P. 121–143.

17. Frohner A., Roos H.-G. £-uniform convergence of a defect correction method on a Shishkin mesh // Appl. Numerical Math. 2001. V. 37. P. 79–94.

18. Miranker W. L. Numerical Methods for Stiff Equations and Singular Perturbation Problems. Dordrecht: Reidel Publ, 2001.

19. Aziz T., Khan A. A spline method for second-order singularly perturbed boundary-value problems // J. Comput. Appl. Math. 2002. V. 147. № 2. P. 445–452.

20. Vigo-Aguiar J., Natesan S. An efficient numerical method for singular perturbation problems // J. Comput. Appl. Math. 2006. V. 192. № 1. P. 132–141.

21. Rao S. C. S., Kumar M. Exponential B-spline collocation method for self-adjoint singularly perturbed boundary value problems // Appl. Numerical Math. 2008. V. 58. P. 1572–1581.

22. Shishkin G. I., Shishkina L. P. Difference Methods for Singular Perturbation Problems. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2009.

23. Kopteva N., O’Riordan E. Shishkin meshes in the numerical solution of singularly perturbed differential equations // Int. J. Numer. Analysis and Modeling. 2010. V. 7. № 3. P. 393–415.

24. Vulkov L. G., Zadorin A. I. Two-grid algorithms for an ordinary second order equation with an exponential boundary layer in the solution // Int. J. Numer. Analysis and Modeling. 2010. V. 7. № 3. P. 580–592.

25. Attili B. S. Numerical treatment of singularly perturbed two point boundary value problems exhibiting boundary layers // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2011. V. 16. № 9. P. 3504–3511.

26. Liu C.-S. The Lie-group shooting method for solving nonlinear singularly perturbed boundary value problems // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simulat. 2012. V. 17. № 4. P. 1506–1521.

27. Das P. Comparison of a priori and a posteriori meshes for singularly perturbed nonlinear parameterized problems // J. Comput. Appl. Math. 2015. V. 290. P. 16–25.

28. Brdar M., Zarin H. A singularly perturbed problem with two parameters on a Bakhvalov-type mesh // J. Comput. Appl. Math. 2016. V. 292. P. 307–319.

29. Zarin H. Exponentially graded mesh for a singularly perturbed problem with two small parameters // Appl. Numerical Math. 2017. V. 120. P. 233–242.

30. Ahmadinia M., Safari Z. Numerical solution of singularly perturbed boundary value problems by improved least squares method // J. Comput. Appl. Math. 2018. V. 331. P. 156–165.

31. Polyanin A. D., Shingareva I. K. Application of non-local transformations for numerical integration of singularly perturbed boundary-value problems with a small parameter // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2018. V. 103. P. 37–54.

32. Полянин А. Д. Сингулярные краевые задачи с пограничным слоем: Метод нелокальных преобразований, тестовые задачи, численное интегрирование / А. Д. Полянин, И. К. Шингарева // Весник НИЯУ МИФИ. – 2018. – Т. 7. – № 1. – С. 33–51.

33. Polyanin A. D., Shingareva I. K. The use of differential and non-local transformations for numerical integration of non-linear blow-up problems // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2017. V. 94. P. 178–184.

34. Polyanin A. D., Shingareva I. K. Non-monotonic blow-up problems: Test problems with solutions in elementary functions, numerical integration based on non-local transformations // Appl. Math. Letters. 2018. V. 76. P. 123–129.

35. Polyanin A. D., Shingareva I. K. Non-linear problems with non-monotonic blow-up solutions: Non-local transformations, test problems, exact solutions, and numerical integration // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2018. V. 99. P. 258–272.

36. Polyanin A. D., Shingareva I. K. Nonlinear problems with blow-up solutions: Numerical integration based on differential and nonlocal transformations, and differential constraints // Appl. Math. Comput. 2019. V. 336. P. 107–137.

37. Polyanin A. D., Shingareva I. K. The method of non-local transformations: Applications to blow-up problems // J. Physics: IOP Conf. Series. 2017. V. 937. 012042.

38. Polyanin A. D., Shingareva I. K. Non-linear blow-up problems for systems of ODEs and PDEs: Non-local transformations, numerical and exact solutions // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2018. V. 111. P. 28–41.

39. Kudryashov N. A., Sinelshchikov D. I. On the criteria for integrability of the Liénard equation // Appl. Math. Letters. 2016. V. 57. P. 114–120.

40. Muriel C., Romero J. L. Nonlocal transformations and linearization of second-order ordinary differential equations // J. Physics A, Math. Theor. 2010. V. 43. 434025.

41. Meleshko S. V., Moyo S., Muriel C., Romero J. L., Guha P., Choudhury A. G. On first integrals of second-order ordinary differential equations // J. Eng. Math. 2013. V. 82. P. 17–30.

42. Keller H. B. Numerical Solution of Two Point Boundary Value Problems. Philadelphia: SIAM, 1974.

43. Butcher J. C. The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations, Runge–Kutta and General Linear Methods. New York: Wiley-Interscience, 1987.

44. Fox L., Mayers D. F. Numerical Solution of Ordinary Differential Equations for Scientists and Engineers. London: Chapman & Hall, 1987.

45. Ascher U. M., Petzold L. R. Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations. Philadelphia: SIAM, 1998.

46. Shingareva I. K., Lizárraga-Celaya C. Maple and Mathematica. A Problem Solving Approach for Mathematics, 2nd ed. Wien – New York: Springer, 2009.

47. Griffiths D., Higham D. J. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. Wien – New York: Springer, 2010.

48. Hairer E., Norsett S. P., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems, 2nd ed. Berlin: Springer-Verlag, 1993.

49. Hairer E., Wanner G. Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems, 2nd ed. New York: Springer, 1996.

50. Lambert J. D. Numerical Methods for Ordinary Differential Systems. New York: Wiley, 1991.