Точечные вихри и полиномы: программный код для тестирования полиномов, связанных с точечными вихрями на плоскости

   Для конфигурации вихрей из 2n вихрей интенсивности, лежащих на прямой, и одного вихря интенсивности pГ, расположенного в центре завихренности, получено в явном виде дифференциальное уравнение, полиномиальные решения которого определяют стационарные положения вихрей, входящих в данную конфигурацию. Обоснована процедура обобщения дифференциальных уравнений, связанных со стационарными положениями вихрей, необходимая для получения общего дифференциального уравнения для стационарной конфигурации вихрей. Описан алгоритм обобщения дифференциальных уравнений – внесения в дифференциальные уравнения параметров, отражающих эквивалентность стационарных положений вихрей, получаемых друг из друга преобразованиями поворота, растяжения и сдвига. Представлены обобщенные дифференциальные уравнения для некоторых стационарных конфигураций вихрей. Предложена процедура тестирования полиномов для определения стационарных конфигураций вихрей. Разработан алгоритм тестирования полиномов, позволяющий проверить, являются ли тестируемые полиномы решением обобщенного ДУ некоторой стационарной конфигурации вихрей. Для проверки полиномов, исходя из тестируемых полиномов и обобщенного дифференциального уравнения, составляется система алгебраических уравнений относительно параметров обобщенного ДУ. Существование решения этой системы соответствует тому, что тестируемые полиномы удовлетворяют рассматриваемой стационарной конфигурации. Описаны архитектура и алгоритм работы программы, автоматизирующей тестирование полиномов для определения стационарных конфигураций вихрей.

1. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Дж. Бэтчелор. – M.: Мир, 1973. – 758 с.

2. O’Neil K. A. Stationary Configurations of Point Vortices, Transactions of the American Mathematical Society, 1987. V. 302. № 2. P. 383–425.

3. Aref H. On the equilibrium and stability of a row of point vortices // J. Fluid. Mech., 1995. V. 290. P. 167–181.

4. Aref H. Vortices and polynomials // Fluid Dynamics Research, 2007. V. 39. Is. 1–3. P. 5–23.

5. Demina M. V., Kudryashov N. A. Point Vortices and Polynomials of the Sawada–Kotera and Kaup–Kupershmidt Equations // Regul. Chaotic Dyn., 2011. V. 16. P. 562–576.

6. Ткаченко В. К. О вихревых решетках / В. К. Ткаченко // ЖЭТФ. – 1965. – Т. 49. – Вып. 6 (12). – C. 1875–1883.

7. Aref H. The numerical experiment in fluid mechanics // J. Fluid. Mech., 1986. V. 173. P. 15–41.

8. Demina M. V., Kudryashov N. A. Vortices and polynomials: non-uniqueness of the Adler–Moser polynomials for the Tkachenko equation, J. Phys. A: Math. Theor., 2012. V. 45. P. 195–205.