Доказательство принципа максимума модуля аналитической функции

Аннотация

В теории функции комплексного переменного хорошо известным фактом является принцип максимума модуля аналитической функции комплексной переменной, который состоит в том, что если функция аналитична в ограниченной области и непрерывна на ее границе, не является константой, то ее модуль достигает наибольшего значения лишь в точках границы. В литературе данное утверждение доказывается довольно громоздко методом от противного путем вычисления значения функции по замкнутому контуру с помощью интегральной формулы Коши. Было бы интересно получить другое, более простое доказательство принципа максимума модуля аналитической функции комплексной переменной. В данной статье приводится более простое, строгое доказательство принципа максимума модуля аналитической функции комплексной переменной. Модуль функции комплексной переменной рассматривается как функция двух переменных. В основе доказательства лежит вычисление частных производных первого и второго порядков от модуля функции, построния матрицы квадратичной формы на основе частных производных второго порядка и анализа знакоопределенности данной формы с помощью критерия Сильвестра. Доказано, что значение главного минора второго порядка меньше нуля внутри замкнутой области и, следовательно, модуль функции не имеет экстремума.