О некоторых свойствах решений нелинейных систем дифференциальных уравнений

Аннотация

Объектом исследования являются: неавтономная нелинейная система двух дифференциальных уравнений первого порядка с произвольным параметром  и автономная система двух нелинейныхl дифференциальных уравнений с квадратичной нелинейностью производной неизвестных функций, содержащая произвольные параметры a, , ,α β γ и ненулевые параметры b c, , удовлетворяющие условиям (b² −c b²)( ² − 4 )(4c² b² −c²) = 0. Цель исследования: определение условий на параметры указанных систем, при которых их общие решения не имеют подвижных критических особых точек, т.е. обладают свойством Пенлеве (являются системами Пенлеве-типа). Доказано, что неавтономная система при любом значении параметра  является системой Пенлеве-типа и по одной изl компонент она эквивалентна дифференциальному уравнению второго порядка, полученному Н.А. Кудряшовым. Решение данного уравнения выражается через решение второго уравнения Пенлеве. Для указанного уравнения построены прямое и обратное преобразования Беклунда. Характерной особенностью автономной системы является то, что по каждой из компонент она эквивалентна двум нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка, которые исследуются на наличие у них свойства Пенлеве в зависимости от значений параметров. Доказано, что при b² = c² ≠ 0 автономная система является системой Пенлеве-типа: она эквивалентна дифференциальным уравнениям второго порядка, которые либо интегрируются в эллиптических функциях, либо допускают линеаризацию. В остальных двух случаях она обладает данным свойством, если a = 0.