Пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции с модулем непрерывности, не превосходящим данного

Аннотация

Для произвольного выпуклого вверх нелипшицева модуля непрерывности построена непрерывная нигде не дифференцируемая функция , модуль непрерывности которой не превосходит и которая в каждой точке имеет нулевое производное число. Построение следует конструкции непрерывной нигде не дифференцируемой функции, данной Б. Больцано. Если положить fω(z) = fω(x + iy) := ϕω(x), то fω(z) дает пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции (даже если рассматривать fω(z) как функцию двух действительных переменных), модуль непрерывности которой не превосходит ω(t) и которая в каждой точке имеет нулевое производное число вдоль двух неколлинеарных направлений. Автором было получено достаточное условие голоморфности, в котором вместо предположения о существовании f (z) у в точках ζ области производной по вдоль z множества Eζ определенного вида выполнение в точках ζ условия Липшица вдоль Eζ. Пример функции fω(z) показывает, что в этой теореме условие Липшица ослабить нельзя.