Об асимптотике простого собственного значения задачи Стеклова, возмущенного на малом участке границы однородным условием Дирихле
https://doi.org/10.1134/S2304487X19010073
Аннотация
В настоящей работе мы рассматриваем спектральную задачу типа Стеклова для оператора Лапласа и соответствующую ей краевую задачу в ограниченной области с гладкой границей. Предполагается, что на малой части границы выставлено однородное условие Дирихле, а на всей остальное части границы – условие Стеклова (или соответствующее условие Неймана). Известно, что задача Стеклова, возмущенная на малом участке границы условием Дирихле, имеет счетный набор конечнократных собственных значений. При этом предельной задачей является задача для оператора Лапласа с условием Стеклова на всей границе. Также известно, что задача для оператора Лапласа с условием Стеклова на всей границе имеет счетный набор конечно-кратных собственных значений. В работе строится двучленная асимптотика собственных значений и соответствующих им собственных функций исходной задачи при стремлении малого параметра, характеризующего размер участка границы с условием Дирихле, к нулю. Показано, что асимптотика собственного значения имеет второе слагаемое порядка минус первой степени логарифма малого параметра. При этом асимптотика строго обоснована с оценкой остаточного члена порядка минус второй степени логарифма малого параметра.
Об авторах
Ю. О. Королева
Российский государственный университет нефти и газа (НИУ) имени И. М. Губкина
Россия
Россия
кафедра высшей математики
119991
Москва
Т. П. Чечкина
Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”
Россия
Россия
кафедра высшей математики
115409
Москва
Список литературы
1. Стеклов В. А. Общие методы решения основных задач математической физики : Диссертация на соискание ученой степени д. ф.-м. н. / В. А. Стеклов. – Харьков: Харьковский Императорский университет, 1901.
2. Mel'nyk T. A. Asymptotic behavior of eigenvalues and eigenfunctions of the Steklov problem in a thick periodic junction // Nonlinear Oscillations. 2001. V. 4. № 1. P. 91–105.
3. Pérez E. On periodic Steklov type eigenvalue problems on half-bands and the spectral homogenization problem // Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B. 2007. V. 7. № 4. P. 859–883.
4. Назаров С. А. О спектре задачи Стеклова в области с пиком / С. А. Назаров, Я. Таскинен // Вестн. С.-Петерб. ун-та. – 2008. – Сер. 1. – № 1. – С. 56–65.
5. Назаров С. А. О спектре задачи Стеклова в пикообразных областях / С. А. Назаров // Тр. Санкт-Петербург. мат. о-ва. – 2008. – Т. 14. – С. 103–168.
6. Назаров С. А. Асимптотика решения спектральной задачи Стеклова в области с затупленным пиком / С. А. Назаров // Мат. заметки. – 2009. – Т. 86. – № 4. – С. 642–656.
7. Чечкина А. Г. О сходимости решений и собственных элементов краевой задачи типа Стеклова с быстро меняющимся типом граничных условий / А. Г. Чечкина // Проблемы мат. анализа. – 2009. – Вып. 42. – С. 129–143.
8. Чечкина А. Г. О сингулярном возмущении задачи типа Стеклова с вырождающимся спектром / А. Г. Чечкина // Докл. Академии наук. – 2011. – Т. 440. – № 5. – С. 603–606.
9. Чечкина А. Г. Усреднение спектральных задач с сингулярным возмущением условия Стеклова / А. Г. Чечкина // Известия РАН. – 2017. – Т. 81. – № 1. – С. 203–240.
10. Chechkina A. G., D’Apice C., De Maio U. Rate of Convergence of Eigenvalues to Singularly Perturbed Steklov–Type Problem for Elasticity System // Applicable Analysis. 2019. V. 98. № 1–2. P. 32–44. Online first doi: 10.1080/00036811.2017.1416104
11. Chiado Piat V., Nazarov S., Piatnitski A. Steklov problems in perforated domains with s coefficient of indefinite sign. // Networks Heter. Media. 2012. V. 7. № 1. P. 151–178.
12. Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов / А. А. Самарский // Докл. АН СССР. – 1948. – Т. 63. – № 6. – С. 631–634.
13. Swanson C. A. Asymptotic Variational Formulae for Eigenvalues // Canad. Math. Bul. 1963. V. 6. № 1. P. 1525.
14. Ozawa Sh. Singular Hadamard’s Variation of Domains and Eigenvalues of Laplacian 1 // Proc. Japan Acad. Ser. A. 1981. V. 57. № 5. P. 242–246.
15. Мазья В. Г. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями / В. Г. Мазья, С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1984. – Т. 48. – № 2. – С. 347–371.
16. Гадыльшин Р. Р. Сингулярно возмущенная задача для оператора Гельмгольца / Р. Р. Гадыльшин // В сборнике статей: Дифференциальные уравнения с малым параметром. – Свердловск: УНЦ АН СССР, 1984. – С. 18–35.
17. Гадыльшин Р. Р. Асимптотика собственного значения сингулярно возмущенной эллиптической задачи с малым параметорм в граничном условии / Р. Р. Гадыльшин // Дифференц. уравнения. – 1986. – Т. 22. – № 4. – С. 640–652.
18. Гадыльшин Р. Р. Спектр эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении граничных условий / Р. Р. Гадыльшин // В сборнике статей: Асимптотические свойства решений дифференциальных уравнений. – Уфа: БНЦ УрО АН СССР, 1988. – С. 3–15.
19. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. – М.: Наука, 1989.
20. Гадыльшин Р. Р. О собственном значении лапласиана в области, перфорированной вдоль границы / Р. Р. Гадыльшин, Ю. О. Королева, Г. А. Чечкин // Докл. АН. – 2010. – Т. 432. – № 1. – С. 7–11.
21. Гадыльшин Р. Р. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закрепленной на малом участке границы / Р. Р. Гадыльшин // Сиб. матем. ж. – 1993. – Т. 34. – № 3. – С. 43–61.
22. Гадыльшин Р. Р. Об асимптотическом поведении собственных пар краевой задачи в плоской области типа сита Стеклова / Р. Р. Гадыльшин, А. Л. Пятницкий, Г. А. Чечкин // Известия РАН. – 2018. – Т. 82. – № 6. – С. 37–64.
23. Абдуллазаде Н. Н. О возмущении задачи Стеклова на малом участке границы / Н. Н. Абдуллазаде, Г. А. Чечкин // Проблемы математического анализа. – 2013. – Т. 74. – С. 3–16.
24. Chechkin G. A., D’Apice C., De Maio U., Gadyl’shin R. R. On Singularly Perturbed Steklov problem in Domain Perforated Along the Boundary // C R Mécanique. 2016. Vol. 344. № 1. P. 12–18.
25. Борисов Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий / Д. И. Борисов // Мат. сборник. – 2002. – Т. 193. – № 7. – С. 37–68.; переведено в сборнике Math. 2002. V. 193. № 7. P. 977–1008.
26. Borisov D. I. On a model boundary value problem for Laplacian with frequently alternating type of boundary condition // Asymptotic Analysis. 2003. V. 35. № 1. P. 1–26.
27. Борисов Д. И. О PT-симметричном волноводе с парой малых отверстий / Д. И. Борисов // Труды Института математики и механики УрО РАН. – 2012. – Т. 18. – № 2. – С. 22–37.
28. Borisov D., Cardone G., Durante T. Homogenization and uniform resolvent convergence for elliptic operators in a strip perforated along a curve // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, Section: A Mathematics. 2016. V. 146. № 6. P. 1115–1158.
29. Borisov D. Creation of spectral bands for a periodic domain with small windows // Russian Journal of Mathematical Physics. 2016. V. 23. № 1. P. 19–34.
30. Борисов Д. И. О равномерной резольвентной сходимости для эллиптических операторов в многомерных областях с малыми отверстиями / Д. И. Борисов, А. И. Мухаметрахимова // Проблемы математического анализа. – 2018. – Т. 92. – С. 69–81.
31. Chechkin G. A. On Vibration of Partially Fastened Membrane with Many “light” Concentrated Masses on the Boundary // C R Mécanique. 2004. Vol. 332. № 12. P. 949–954.
32. Amirat Y., Chechkin G. A., Gadyl’shin R. R. Asymptotics of Simple Eigenvalues and Eigenfunctions for the Laplace Operator in a Domain with Oscillating Boundary // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2006. – Т. 46. – № 1. – С. 102–115.
33. Мельник Т. А. Асимптотический анализ краевых задач в густых трехмерных многоуровневых соединениях / Т. А. Мельник, Г. А. Чечкин // Математический сборник. – 2009. – Т. 200. – № 3. – С. 49–74.
34. Amirat Y., Chechkin G. A., Gadyl’shin R. R. Asymptotics of the Solution of a Dirichlet Spectral Problem in a Junction with Highly Oscillating Boundary // C R Mécanique. 2008. Vol. 336. № 9. P. 693–698.
35. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. I. Двумерный случай / А. М. Ильин // Матем. сб. – 1976. – Т. 99. – С. 514–537.
36. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием / А. М. Ильин // Матем. сб. – 1977. – Т. 103. – С. 265–284.
37. Ильин А. М. Исследование асимптотики решения эллиптической краевой задачи в области с малым отверстием / А. М. Ильин // Труды семинара им. И. Г. Петровского. – 1981. – № 6. – С. 57–82.
38. Chechkin G. A. Asymptotic Expansion of Eigenvalues and Eigenfunctions of an Elliptic Operator in a Domain with Many “Light” Concentrated Masses Situated on the Boundary. Two-Dimensional Case. // Izvestia: Mathematics. 2005. Vol. 69. № 4. P. 805–846 (Translated from Izvestija RAN. Ser. Mat. 2005. Vol. 69. № 4. P. 161–204).
39. Борисов Д. И. Асимптотики и оценки собственных элементов лапласиана с частой непериодической сменой граничных условий / Д. И. Борисов // Известия РАН. Серия математическая. – 2003. – Т. 67. – № 6. – С. 23–70.
Рецензия
Для цитирования:
Королева Ю.О., Чечкина Т.П. Об асимптотике простого собственного значения задачи Стеклова, возмущенного на малом участке границы однородным условием Дирихле. Вестник НИЯУ МИФИ. 2019;8(3):253-263. https://doi.org/10.1134/S2304487X19010073
For citation:
Koroleva Yu.O., Chechkina T.P. On the Asymptotic Behavior of a Simple Eigenvalue of the Steklov Problem Perturbed on a Small Part of the Boundary by the Homogeneous Dirichlet Condition. Vestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI". 2019;8(3):253-263. (In Russ.) https://doi.org/10.1134/S2304487X19010073
Просмотров:
134
Послать статью по эл. почте 