ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И РЕДУКЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ТИПА МОНЖА – АМПЕРА
https://doi.org/10.26583/vestnik.2023.299
EDN: MDGFDG
Аннотация
Исследуются нелинейные нестационарные уравнения математической физики с тремя независимыми переменными, которые содержат первую производную по времени и квадратичную комбинацию вторых производных по пространственным переменным типа Монжа – Ампера. Отдельные уравнения такого типа встречаются, например, в электронной магнитной гидродинамике и дифференциальной геометрии. В данной работе описано одиннадцатипараметрическое преобразование, сохраняющее вид исследуемого класса нелинейных уравнений. Рассмотрены двумерные и одномерные редукции, приводящие к более простым уравнениям в частных производных с двумя независимыми переменными или обыкновенным дифференциальным уравнениям. Получены автомодельные и другие инвариантные решения. Методами обобщенного разделения переменных построен ряд новых точных решений, многие из которых выражаются через элементарные функции.
Ключевые слова
Об авторе
А. Д. ПолянинРоссия
доктор физико-математических наук, профессор
Список литературы
1. Smirnov V.V., Chukbar K.V. «Phonons» in two-dimensional vortex lattices // Journal of Experimental and Theoretical Physics, 2001. Vol. 93. № 1. Pp. 126–135.
2. Zaburdaev V.Yu., Smirnov V.V., Chukbar K.V. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices //Plasma Physics Reports, 2014. Vol. 30. № 3. Pp. 214–217.
3. Ohkitani K., Sultu F. Al. Singularity formation in the Smirnov–Chukbar–Zaburdaev equation for the deformation of vortex lattices // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2013. Vol. 46. № 20.
4. Dubinov A.E., Kitayev I.N. New exact solutions of the equation of non-linear dynamics of a lattice of electronic vortices in plasma in the framework of electron magnetohydrodynamics // Magnetohydrodynamics, 2020. Vol. 56. № 4. Pp. 369–375.
5. Полянин А.Д. Преобразования, редукции и точные решения одного сильно нелинейного уравнения электронной магнитной гидродинамики // Вестник НИЯУ МИФИ, 2023. Т. 12. №4. С. 201–210.
6. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3, Ч. 1. М.: Гостехиздат, 1933.
7. Martin M.N. The propagation of a plane shock into a quiet atmosphere // Canadian Journal of Mathematics, 1953. Vol. 3. Pp. 165–187.
8. Rozhdestvenskii B.L., Yanenko N.N. Systems of Quasilinear Equations and Their Applications to Gas Dynamics. Providence: American Mathematical Society, 1983, 676 p.
9. Хабиров С.В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с помощью контактной группы неоднородного уравнения Монжа – Ампера // Математический сборник, 1990. Vol. 181. № 12. Pp. 1607–1622.
10. Ibragimov N.H. (ed.). CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 1. Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws. Boca Raton: CRC Press, 1994.
11. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations. 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.
12. Крылов Н.В. Последовательности выпуклых функций и оценки максимума решения параболического уравнения // Сибирский математический журнал, 1976. Т. 17. № 2. С. 226–236.
13. Spiliotis J. Certain results on a parabolic type Monge – Ampere equation // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1992. Vol. 163. № 2. Pp. 484–511.
14. Chen L., Wang G., Lian S. Convex-monotone functions and generalized solution of parabolic Monge –Ampere equation // Journal of Differential Equations, 2002. Vol. 186. № 2p. P. 558–571.
15. Tang L. Regularity results on the parabolic Monge – Ampere equation with VMO type data // Journal of Differential Equations, 2013. Vol. 255. № 7. Pp. 1646–1656.
16. Dai L. Exterior problems of parabolic Monge –Ampere equations for n = 2 // Computational & Applied Mathematics, 2014. Vol. 67. № 8. Pp. 1497–1506.
17. Dai L., Cheng H. The first initial-boundary value problem of parabolic Monge – Ampere equations outside a bowl-shaped domain // Boundary Value Problems, 2021. № 29. Режим доступа: https://doi.org/ 10.1186/s13661-021-01505 w
18. Ивочкина Н.М., Ладыженская О.А. О параболических уравнениях, порождаемых симметрическими функциями собственных значений гессиана или главными кривизнами искомой поверхности. Ч. I: Параболические уравнения Монжа – Ампера // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6. № 3. С. 141–160.
19. Wang J., Yang J., Liu X. The initial and Neumann boundary value problem for a class parabolic Monge –Ampere equation // Abstract and Applied Analysis. V. 2013. № 535629. Режим доступа: http://dx. doi.org/10.1155/2013/ 535629.
20. Tang L. Boundary regularity on the parabolic Monge – Ampere equation // Journal of Differential Equations, 2015. Vol. 259. Pp. 6399–6431.
21. Loftin J., Tsui M.P. Ancient solutions of the affine normal flow // Journal of Differential Geometry, 2008. Vol. 78. Pp. 113–162.
22. Ovsiannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. New York: Academic Press, 1982.
23. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations, 2nd ed. New York: Springer-Verlag, 2000.
24. Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2007.
25. Полянин А.Д., Журов А.И. Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики. М.: ИПМех РАН, 2020.
26. Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs. Boca Raton–London: CRC Press, 2022.
27. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984.
28. Кудряшов Н.А. Методы нелинейной математической физики. Долгопрудный: Изд. Дом «Интеллект», 2010.
29. Aksenov A.V., Polyanin A.D. Methods for constructing complex solutions of nonlinear PDEs using simpler solutions // Mathematics, 2021. Vol. 9. № 4. 345.
30. Аксенов А.В., Полянин А.Д. Обзор методов построения точных решений уравнений математической физики, основанных на использовании более простых решений // Теоретическая и математическая физика, 2022. Vol. 211. № 2. Pp. 567–594.
Рецензия
Для цитирования:
Полянин А.Д. ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ И РЕДУКЦИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ТИПА МОНЖА – АМПЕРА. Вестник НИЯУ МИФИ. 2023;12(5):276-288. https://doi.org/10.26583/vestnik.2023.299. EDN: MDGFDG
For citation:
Polyanin A.D. EXACT SOLUTIONS AND REDUCTIONS OF UNSTEADY EQUATIONS OF MATHEMATICAL PHYSICS OF THE MONGE – AMPERE TYPE. Vestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI". 2023;12(5):276-288. (In Russ.) https://doi.org/10.26583/vestnik.2023.299. EDN: MDGFDG