ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ, ПЕРВЫЕ ИНТЕГРАЛЫ И КОНСЕРВАТИВНЫЕ ПЛОТНОСТИ ОБОБЩЕННОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ГЕРДЖИКОВА–ИВАНОВА

Рассматривается обобщенное уравнение Герджикова–Иванова. В последние годы это уравнение интенсивно изучается, поскольку оно используется для описания распространения импульсов в оптическом волокне. В отличие от классического уравнения Герджикова–Иванова, исследуемое уравнение не проходит тест Пенлеве, и задача Коши для этого уравнения не решается методом обратной задачи рассеяния. Этот вариант уравнения Герджикова–Иванова имеет лишь ограниченное число законов сохранения. С помощью множителей и прямых вычислений в работе построены законы сохранения рассматриваемого уравнения и найдены два закона сохранения без ограничений на параметры уравнения. Еще один дополнительный закон сохранения найден при дополнительном ограничении на параметры уравнения. В работе также получены первые интегралы для обыкновенных дифференциальных уравнений в результате редукции законов сохранения к переменным бегущей волны в обобщенном уравнении Герджикова–Иванова. Найдены аналитические решения рассматриваемого уравнения. Точные решения обобщенного уравнения Герджикова–Иванова представлены в форме оптических солитонов, а также через эллиптические функции Якоби. Используя вспомогательные интегралы, вычислены сохраняющиеся величины для оптического солитона. Консервативные плотности соответствуют физическим величинам: мощности, момента и энергии. Полученные сохраняющиеся величины имеют практическую пользу при численном и нейросетевом моделировании процессов распространения импульсов в оптическом волокне

1. Kivshar Y.S., Agrawal G.P. Optical Solitons. From Fibers to Photonic Crystals. Academic Press, 2003.

2. Kivshar Yu.S. and Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys., 1989. V. 63. P.763–915.

3. Kivshar Yu.S., Pelinovsky D. E. Self – focusing and transversive instabilities of solitary waves // Phys. Reports, 2000. V. 331(4). P. 117–195.

4. Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion // Applied Physics Letters, 1973. V. 23. Р. 142–144. DOI: 10.1063/1.1654836.

5. Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. II. Normal dispersion // Applied Physics Letters, 1973. V. 23. P. 171–172. DOI: 10.1063/1.1654847.

6. Tai K., Hasegawa A., Tomita A. Observation of modulational instability in optical fibers // Physical Review Letters, 1986. V. 56. Iss.2. P. 135–138.

7. DOI: 10.1103/PhysRevLett.56.135.

8. Zakharov V.E., Shabat A.B. Exact theory of two-dimensional self-focussing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media // Soviet Physics JETP, 1972. V. 34. № 1. P. 62–67.

9. Захаров В.Е., Шабат А.Б. Схема интегрирования нелинейных уравнений математической физики методом обратной задачи рассеяния. I // Функциональный анализ и его приложения, 1974. Т. 8. № 3. С. 43–53.

10. Kudryashov N.A. A generalized model for description of propagation pulses in optical fiber // Optik, 2019. V. 189. P. 42–52.

11. Кутуков А.А., Кудряшов Н.А. Оптические солитоны системы дифференциальных уравнений типа нелинейного уравнения Шредингера с нелинейностью третьей, пятой и седьмой степени // Вестник НИЯУ МИФИ, 2020. Т. 9. № 5. С. 438–441. DOI: 10.1134/S2304487X20050090

12. Лаврова С.Ф., Кудряшов Н.А. Нелинейные динамические процессы, описываемые системой уравнений Радхакришнана–Кунду–Лаксманана // Вестник НИЯУ МИФИ, 2020. Т. 9. № 1. С. 45–49. DOI: 10.1134/S2304487X20010058

13. Сафонова Д.В., Кудряшов Н.А. Точные решения дифференциального уравнения четвертого порядка для описания оптических импульсов // Вестник НИЯУ МИФИ, 2020. Т. 9. № 5. С. 412–419. DOI: 10.1134/S2304487X20050120.

14. Biswas A., Sonmezoglu. A., Ekici M., Kara A.H., Alzahrani A.K., Belic M.R. CubicQuartic Optical Solitons and Conservation Laws with Kudryashovs Law of Refractive Index by Extended Trial Function // Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2021. V. 61. № 12. P. 1995–2003.

15. Yildirim Y., Biswas A., Kara A.H., Ekici M., Zayed E.M.E., Alzahrani A.K., Belic M.R. Optical solitons and conservation law with Kudryashovs form of arbitrary refractive index // Journal of Optics (India), 2021. V. 50. № 4. P. 542–547.

16. Kudryashov N.A., Nifontov D.R. Conservation laws and Hamiltonians of the mathematical model with unrestricted dispersion and polynomial nonlinearity // Chaos, Solitons & Fractals, 2023. V. 175. 114076.

17. Kudryashov N., Lavrova S. Nifontov D. Analytical solutions and conservation laws of the generalized model for propagation pulses with four powers of nonlinearity // Opt .Quant. Electron, 2024. V.56. 1110.

18. DOI: 10.1007/s11082-024-06598-y.

19. Kudryashov N.A., Kutukov A.A. Nifontov D.R. Analytical solutions and conservation laws of the generalized nonlinear Schrödinger equation with anti-cubic and cubic-quintic-septic nonlinearities // Opt. Quant. Electron., 2024. V.56. 1157.

20. DOI: 10.1007/s11082-024-07092-1.

21. Kudryashov N. Traveling wave solutions of the generalized Gerdjikov-Ivanov equation // Optik, 2020. V. 219. 165193.

22. Gerdjikov V.S., Ivanov M.I. Expansions over the squared solutions and inhomgeneous nonlinear schrodinger equation // Inverse Problems, 1992. V. 8 (6). P. 831–847.

23. Zahran Emad H.M., Bekir A. New unexpected explicit optical soliton solutions to the perturbed GerdjikovIvanov equation // Journal of Optics (India), 2023. V. 52. № 3. P. 1142–1147.

24. Onder I., Secer A.,Ozisik M., Bayram M. Investigation of optical soliton solutions for the perturbed Gerdjikov-Ivanov equation with full-nonlinearity // Heliyon, 2023. V. 9. Iss.2. e13519. DOI: 10.1016/j.heliyon.2023.e13519.

25. Olver P.J. Applications of Lie groups to differential equations. Spriner-Verlag, New York inc, 1986.

26. Malomed B.A. Inelastic collisions of polarized solitons in a birefringent optical fiber // Journal of the Optical Society of America B: Optical Physics, 1992. V. 9 (11). P. 2075–2082.

27. Dmitriev S.V., Kevrekidis P.G., Malomed B.A., Frantzeskakis D.J. Two-soliton collisions in a near-integrable lattice system // Physical Review E – Statistical Physics, Plasmas, Fluids, and Related Interdisciplinary Topics, 2003. V. 68. Iss.5. 056603. DOI: 10.1103/PhysRevE.68.056603

28. Biswas A. Chirp-free bright optical solitons and conservation laws for complex Ginzburg-Landau equation with three nonlinear forms // Optik, 2018. V. 174, P. 207–215.

29. Biswas A., Kara A.H., Zhou Q., Alzahrani A.K., Belic M.R. Conservation Laws for Highly Dispersive Optical Solitons in Birefringent Fibers // Regular and Chaotic Dynamics, 2020. V. 25. Iss. 2. P. 166–177.

30. Kudryashov N.A., Biswas A., Kara A.H.,Yildirim Y. Cubicquartic optical solitons and conservation laws having cubicquinticsepticnonic self-phase modulation // Optik, 2022. V. 269. 169834.

31. Alshehri A.M., Alshehri H.M., Alshreef A.N., Kara A.H., Biswas A., Yildirim Y. Conservation laws for dispersive optical solitons with Radhakrishnan-Kundu-Lakshmanan model having quadrupled power-law of self-phase modulation // Optik, 2022. V. 267. 169715.

32. Zayed E.M.E., Shohib R.M.A., Alngar M.E.M., Biswas A., Kara A.H., Dakova A., Khan S., Alshehri H.M., Belic M.R. Solitons and conservation laws in magneto-optic waveguides with generalized Kudryashov’s equation by the unified auxiliary equation approach // Optik, 2021. V. 245. 167694.

33. Drazin P.G., Johnson R.S. Soliton: an introduction. Cambridge University press, 1989.

34. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons, Nonlinear Equations and Inverse Scattering. Cambridge University press, 1991.

35. Ablowitz M.J., Segur H. Solitons and the Inverse Scattering Transform, SIAM Philadelphia, 1981.

36. Pazarci A., Turhan U.C., Ghazanfari N., Gahramanov I. Hamiltonian formalism for nonlinear Schrger equations // Commun Nonlinear Sci. Numer Simul., 2023. V.121. 107191. DOI: 10.1016/j.cnsns.2023.107191

37. Kudryashov N.A. Conservation laws and Hamiltonian of the nonlinear Schrodinger equation of the fourth order with arbitrary refractive index // Optik, 2023. V.286. 170993. DOI: 10.1016/j.ijleo.2023.170993.

38. Kudryashov N.A. Hamiltonians of the Generalized Nonlinear Schrodinger Equations // Mathematics, 2023. V.11 (10). 2304. DOI: 10.3390/math11102304

39. Kudryashov N.A. Conservation laws of the complex Ginzburg-Landau equation // Physics Letters, Section A: General, Atomic and Solid State Physics, 2023. V. 481. 128994.

40. Kudryashov N.A., Nifontov D.R. Exact solutions and conservation laws of the fourth-order nonlinear Schrödinger equation for the embedded solitons // Optik, 2024. V. 303. 171752.

41. Kudryashov N.A., Nifontov D.R. From conservation laws of generalized Schrödinger equations to exact solutions // Journal of Optics, 2024. https://doi.org/10.1007/s12596-024-01965-0