Сдвиговые волны в нелинейно - вязко - упругой цилиндрической оболочке

Методами асимптотического интегрирования проведено моделирование распространения пучка сдвиговых волн вдоль образующей нелинейно–вязко–упругой  цилиндрической оболочки модели Сандерса–Койтера. Считается, что оболочка изготовлена из материала, характеризующегося кубической зависимостью между интенсивностями напряжений и деформаций, безразмерные параметры тонкостенности и физической нелинейности являются величинами одного порядка малости, а отношение вязко–упругих постоянных есть безразмерный параметр более высокого порядка малости. Используется разновидность метода многомасштабных разложений, позволяющая из уравнений линейного приближения определить скорость распространения волны, а в первом существенно нелинейном приближении получить разрешающее нелинейное квазигиперболическое уравнение для главного члена разложения сдвиговой компоненты смещения. Выведенное уравнение представляет собой кубически нелинейную модификацию бездисперсионного уравнения Кадомцева–Петвиашвили–Бюргерса, являясь частным случаем модифицированного уравнения Хохлова–Заболотской–Кузнецова. Решение выведенного уравнения отыскивается в виде одной гармоники с медленно меняющейся комплексной амплитудой, поскольку в деформируемых средах с кубической нелинейностью эффект самовоздействия волны существенно преобладает над эффектом генерации высших гармоник. В результате для комплексной амплитуды получено уравнение Гинзбурга–Ландау, для которого построено точное физически состоятельное решение.

1. Руденко О. В., Сарвазян А. П. Волновая биомеханика скелетной мышцы // Акустический журнал, 2006. Т. 52. № 6. С. 833–846.

2. Руденко О. В. Нелинейные волны: некоторые биомедицинские приложения // Успехи физических наук, 2007. Т. 177. №4. С. 374–383.

3. Sarvazyan A. P., Rudenko O. V., Swanson S. D., Fowlkes J. B., Emelianov S. Y. Shearwave elasticity imaging: a new ultrasonic technology of medical diagnostics // Ultrasound inmedicine & biology, 1998. V. 24(9). P. 1419–1435.

4. R’enier M., Gennisson J. -L., Tanter M., Catheline S., Barri`ere C., Royer D., Fink M. Nonlinear shear elastic moduli in quasi-incompressible soft solids // Proceedings of the IEEEUltrasonics Symposium, 2007. P. 554–557.

5. Gennisson J. -L. New parameters in shear wave elastography in vivo // Mecanique pourle vivant. Identification et mod’elisation du comportement des tissus biologiques humainset animaux. Avanc’ees et perspectives. Colloque National, du 18 au 22 janvier 2016. URL: https://mecamat.ensma.fr/Aussois/2016/DOCUMENT/TexteGenisson.pdf [дата обращения 22.05.2025].

6. Андреев В. Г., Дмитриев В. Н., Пищальников Ю. А., Руденко О. В., Сапожников О. А., Сарвазян О. П. Наблюдение сдвиговой волны, возбужденнойс помощью фокусированного ультразвука в резиноподобной среде // Акустический журнал, 1997. Т. 43(2). С. 149–155.

7. Cormack J. M., Hamilton M. F. Plane nonlinear shear waves in relaxing media // The Journal of the Acoustical Society of America, 2018. V. 143(2). P. 1035–1048.

8. Lindley B. S. Linear and nonlinear shear wave propagation in viscoelastic media. University of North Carolina: Chapel Hill, 2008. 78 p. https://cdr.lib.unc.edu/downloads/z029p543p

9. Rajagopal K. R., Saccomandi G. Shear waves in a class of nonlinear viscoelastic solids // The Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 2003. V. 56. iss. 2. P. 311–326. doi: 10.1093/qjmam/56.2.311

10. Wochner M. S., Hamilton M. F., Ilinskii Y. A., Zabolotskaya E. A. Cubic nonlinearity in shear wave beams with different polarizations // Journal of the Acoustical Society of America, 2008. V. 123. iss. 5. Р. 2488–2495. doi:10.1121/1.2890739

11. Destrade M., Saccomandi G. Solitary and compact-like shear waves in the bulk of solids // Physical Review E., 2006. V. 73. 065604. iss. 6, art. 065604. doi: 10.1103/PhysRevE.73.065604

12. Banerjee D., Janaki M. S., Chakrabarti N., Chaudhuri M. Nonlinear shear wave in a non Newtonian visco-elastic medium // Physics of Plasma, 2012. V. 19. Iss.6. art. 062301.

13. Destrade M., Goriely A., Saccomandi G. Scalar evolution equations for shear waves in incompressible solids: A simple derivation of the Z, ZK, KZK, and KP equations // Proceedings of the Royal Society A, 2011. V. 467. P. 1823–1834.

14. А.М. Доронин, В.И. Ерофеев. Генерация второй гармоники сдвиговой волны в упруго-пластической среде. Письма о материалах. 2016. Т.6. №2. С.102-104

15. Shuvalov A. L., Poncelet O., Kiselev A. P. Shear horizontal waves in transversely inhomogeneous plates // Wave Motion, 2008. V. 45. № 5. P. 605–615.

16. Ерофеев В. И. Распространение нелинейных сдвиговых волн в твердом теле с микроструктурой // Прикладная механика, 1993. Т. 29. № 4. С. 18–22.

17. Ерофеев В. И., Раскин И. Г. О распространении сдвиговых волн в нелинейно-упругом теле // Прикладная механика, 1991. Т. 27. № 1. С. 127–129.

18. Потапов А. И., Солдатов И. Н. Квазиоптическое приближение для пучка сдвиговых волн в наследственной среде // Прикладная механика и техническая физика, 1986. № 1. С. 144–147.

19. Кившарь Ю. С., Сыркин Е. С. Сдвиговые солитоны в упругой пластине // Акустический журнал, 1991. Т. 37(1). С 104–109.

20. Ерофеев В. И., Шешенина О. А. Нелинейные продольные и сдвиговые стационарные волны деформации в градиентно-упругой среде // Математическое моделирование систем и процессов, 2007. № 15. C. 15–27.

21. Ерофеев В. И., Колесов Д. А., Сандалов В. М. Демодуляция сдвиговой волны в нелинейной пластине, лежащей на упругом основании, параметры которого изменяются по закону бегущей волны // Проблемы прочности и пластичности, 2013. Т. 75(4). C. 268–272.

22. Богданов А. Н., Скворцов А. Т. Нелинейные сдвиговые волны в зернистой среде // Акустический журнал, 1992. Т. 38(3). С. 408–412.

23. Быков В. Г. Уединенные сдвиговые волны в зернистой среде // Акустический журнал, 1999. Т. 45(2). С. 169–173.

24. Ерофеев В. И., Шарабанова А. В. Сдвиговые волны Римана в материале, свойства которого зависят от вида напряженного состояния // Проблемы машиностроения и надежности машин, 2004. № 1. С. 20–23.

25. Ерофеев В. И., Кажаев В. В., Семерикова Н. П. Волны в стержнях. Дисперсия. Диссипация. Нелинейность. Москва: Физматлит, 2002. 208 c.

26. Kaplunov J. D., Kossovich L. Yu., Nolde E. V. Dynamics of thin walled elastic bodies. San Diego: Academic Press, 1998. 226 p.

27. Zemlyanukhin A. I., Bochkarev A. V., Mogilevich L. I., Andrianov I. V. The generalized Schamel equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells // Nonlinear Dynamics, 2019. V. 98(1). P. 185–194.

28. Zemlyanukhin A. I., Bochkarev A. V., Andrianov I. V., Erofeev V. I. The Schamel-Ostrovsky equation in nonlinear wave dynamics of cylindrical shells // Journal of Sound and Vibration, 2021. V. 491. art. 115752. doi: 10.1016/j.jsv.2020.115752

29. Zemlyanukhin A. I., Bochkarev A. V., Artamonov N. A. Physically admissible and inadmissible exact localized solutions in problems of nonlinear wave dynamics of cylindrical shells // Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 2024. T. 20. № 2. С. 219–229.

30. Землянухин А. И., Бочкарев А. В. Осесимметричные нелинейные модулированные волны в цилиндрической оболочке // Акустический журнал, 2018. Т. 64(4). С. 417–423.

31. Yamaki N. Elastic stability of circular cylindrical shells // North-Holland Series in Applied Mathematics and Mechanics, V. 27. Amsterdam: North-Holland, 1984.

32. Amabili M. A comparison of shell theories for large-amplitude vibrations of circular cylindrical shells: Lagrangian approach // Journal of Sound and Vibration, 2003. V. 264(5). P. 1091–1125.

33. Лукаш П. А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. 204 с.

34. Вольмир А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.

35. Москвитин В. В. Сопротивление вязко – упругих материалов. М.: Наука, 1972. 328 c.

36. Потапов А. И. Нелинейные волны деформации в стержнях и пластинах. Горький.: Изд.-во Горьк. гос. ун.-та, 1985. 108 c.

37. Землянухин А. И., Бочкарев А. В., Артамонов Н. А. Сдвиговые волны в нелинейно-упругой цилиндрической оболочке // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика, 2024. Т. 24(4). С. 578–586.

38. Руденко О. В. К 40-летию уравнения Хохлова–Заболотской // Акустический журнал, 2010. Т. 56(4). С. 452–462.

39. Руденко О. В., Сухоруков А. А. Дифрагирующие пучки в кубично – нелинейных средах без дисперсии // Акустический журнал, 1995. Т.41(5). С.822–827.

40. Porubov A. V., Velarde M. G. Exact periodic solutions of the complex Ginzburg–Landau equation // J. Math. Phys., 1999. V. 40. P. 884–896.