Аналитическое решение для определения температуры испаряющихся капель на твердой подложке

Процесс испарения жидких капель на твердых поверхностях привлекает внимание исследователей, поскольку оказывается определяющим во многих прикладных задачах: в биологии, распылении пестицидов, печати принтеров, нанофабрикации, создании пленок с заданными свойствами, работе с OLED дисплеями, ДНК анализе и др. Процесс испарения капель сложен, поэтому аналитические модели могут дать понимание закономерностей процесса. Исследуется спонтанное испарение капель жидкости с горизонтальных подложек в неизотермическом приближении. Получены аналитические выражения для температуры и концентрации пара как функции безразмерных параметров, выраженные через термодинамические параметры подложки, жидкости и пара. Учет температурных поправок позволяет рассчитать силу Марангони, определяющую термокапиллярные течения в капле. Определены значения параметров, при которых направление силы Марангони меняет знак, и линии стагнации. Найдены критические значения коэффициентов теплопроводностей жидкости и подложки, при которых возбужда-ются разнонаправленные течения. Проведены сравнения температурных полей с экспериментальными данными. Установлены критические параметры соотношения теплопроводностей капли и подложки, при которых меняется монотонное распределение температуры и возможно охлаждение капли.

1. Deegan R. D., Bakajin O., Dupont T. F., Huber G., Nagel S. R., Witten T. A. Capillary flow as the cause of ring stains from dried liquid drops // Nature, 1997. V.389. P.827-829. DOI: 10.1038/39827

2. Deegan R. D., Bakajin O., Dupont T. F., Huber G., Nagel S. R., Witten T. A. Contact line deposits in an evaporating drop // Physical Review E, 2000. V.62. P. 756-765. DOI: 10.1103/physreve.62.756

3. Deegan R.D. Pattern formation in drying drops // Physical Review E, 2000. V.61(1). P.475-485. DOI: 10.1103/physreve.61.475.

4. Ristenpart W. D., Kim P. G., Domingues C., Wan J., Stone H.A. Influence of Substrate Conductivity on Circulation Reversal in Evaporating Drops // Physical Review Letters, 2007. V. 99, P. 234502. DOI: 10.1103/PhysRevLett.99.234502

5. Hu H., Larson R. G. Analysis of the Effects of Marangoni Stresses on the Microflow in an Evaporating Sessile Droplet // Langmuir, 2005. V. 21(9), P. 3972-3980. DOI:10.1021/la0475270.

6. Hu H., Larson R. G. Evaporation of a sessile droplet on a substrate // Journal of Physical Chemistry B, 2002. V. 106. P. 1334-1344. DOI:10.1021/jp0118322

7. Hu H., Larson R. G. Analysis of the micro fluid flow in an evaporating sessile droplet // Langmuir, 2005. V. 21(9). P. 3963-3971. DOI:10.1021/la047528s

8. Hu H., Larson R. G. Marangoni effect reverses coffee-ring depositions // Journal of Physical Chemistry B, 2006. V. 110(14). P. 7090-7094. DOI:10.1021/jp0609232

9. Watanabe T. Simulation of surface flows on a droplet in an oscillating pressure field // International Journal of Mathematical Models and Methods in Applied Sciences, 2011. V. 5. Iss. 8. P. 1398-1405.

10. Torfi S. Nejad S. M. H. Droplet Simulation, A Case Study: Evaporation. WSEAS Transactions on Fluid Mechanics, 2011. V.6. Iss. 3. P. 192-197.

11. Nagornov O.V., Starostin N.V. Influence of substrate properties on evaporation of the sessile drop // Advances in Engineering Mechanics and Materials, 2014. P. 98-100.

12. Nagornov O.V., Starostin N.V. Influence of properties of liquidand substrate on evaporation of thesessile drop // WseasTransactions on Heat and Mass Transfer, 2014. V.9. P.221-225.

13. Dunin S. Z., Nagornov O. V., Starostin N. V., Trifonenkov V. P. Analytical Solution for Evaporating Sessile Drops on Solid Substrates // Recent Advances in Applied Mathematics, Modelling and Simulation, 2014. P. 252-255.

14. Popov Y. O. Evaporative deposition patterns: spatial dimensions of the deposit // Physical Review E, 2005, V.71. P.036313. DOI:10.1103/PhysRevE.71.036313

15. Dunn G. J., Wilson S. K., Duffy B.R., David S., Sefiane K. The strong influence of substrate conductivity on droplet evaporation // Journal of Fluid Mechanics, 2009. V.623. P.329-351. DOI:10.1017/S0022112008005004

16. Sefiane K., Wilson S. K., David S., Dunn G. J., Duffy B. R. On the Effect of the Atmosphere on the Evaporation of Sessile droplet of water // Physics of Fluids, 2009. V.21(6). p. 062101. DOI:10.1063/1.3131062

17. David S., Sefiane K., Tadrist L. Experimental investigation of the effect of thermal properties of the substrate in the wetting and evaporation of sessile drops // Colloids and Surfaces A: Physicochem. Eng. Aspects, 2007. V. 298 (1). P. 108–114. DOI:10.1016/j.colsurfa.2006.12.018

18. Semenov S., Starov V.M., Rubio R.G., Agogo H., Velarde M.G. Evaporation of sessile water droplets: Universal behaviour in presence of contact angle hysteresis // Colloids Surf. Aspects, 2011, V. 391, P. 135–1444.

19. Saada M. A., Chikh S., Tadrist L. Evaporation of a sessile drop with pinned or receding contact line on a substrate with different thermophysical properties // International Journal of Heat and Mass Transfer, 2013. V. 58, P. 197–208. DOI:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2012.11.026

20. Lebedev N.N. Special functions and their applications. Prentice-Hall: Englewood Cliffs, NJ, 1965. 322 р.

21. Gossali G.E., Tonini S. Analytical solutions for modelling the evaporation of sessile drops // Applied Mathematical Modelling, 2023. V.114. P. 61-77. DOI:10.1016/j.apm.2022.09.023

22. Emelyanenko K.A., Emelyanenko A.M., Boinovich L.B. Supercooling of evaporating water droplets on superhydrophobic surface at low temperatures // Colloid Journal, 2025, V.87. № 4. P. 481-491. DOI:10.1134/S1061933X25600642