Точная линеаризация сильно нелинейных уравнений типа Монжа – Ампера
https://doi.org/10.26583/vestnik.2025.6.5
EDN: KREEFH
Аннотация
Описаны новые классы сильно нелинейных уравнений типа Монжа – Ампера достаточно общего вида, зависящих от одной до шести произвольных функций одного или двух аргументов, которые допускают точную линеаризацию в замкнутой форме. Для линеаризации использованы контактные преобразования Эйлера и Лежандра и специальные точечные преобразования (включая неклассическое преобразование годографа) их комбинации. Особое внимание уделяется уравнениям Монжа – Ампера, встречающимся в метеорологии и геофизике. Рассматриваются также преобразования эквивалентности отдельных классов уравнений Монжа – Ампера. Для некоторых нелинейных уравнений получены точные решения, зависящие от произвольных функций. Были также рассмотрены два нестационарных сильно нелинейных уравнений типа Монжа – Ампера с тремя независимыми переменными, которые встречаются в электронной магнитной гидродинамике и геофизической гидродинамике. Для них в переменных типа бегущей волны были построены двумерные редукции к более простым уравнениям, допускающим точную линеаризацию.
Ключевые слова
уравнения Монжа – Ампера,
сильно нелинейные уравнения с частными производными,
точная линеаризация в замкнутой форме,
преобразования Эйлера и Лежандра,
преобразование годографа,
контактные и точечные преобразования
При поддержке: Работа выполнена по темам государственного задания (№№ госрегистрации 124012500440-9 и FSWU-2023-0031).
Об авторах
А. Д. Полянин
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник
А. В. Аксенов
Механико-математический факультет, Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Россия
Россия
доктор физико-математических наук, профессор
заведующий кафедрой гидромеханики (Механико-математический факультет)
IstinaResearcherID (IRID): 723647
ResearcherID: AAF-8791-2019
Scopus Author ID: 35346317300
MathSciNet MR Author ID: 290112
Список литературы
1. Погорелов А.В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука, 1969. 759 с.
2. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.
3. Caffarelli L.A., Milman M.(eds). Monge – Ampère Equation: Applications to Geometry and Optimization. Providence: American Mathematical Society, 1999.
4. Figalli A. The Monge – Ampère Equation and Its Applications. Zürich: European Mathematical Society, 2017. 212 p.
5. Martin M.N. The propagation of a plane shock into a quiet atmosphere // Canadian Journal of Mathematics, 1953. V. 5. P. 37-39. DOI: 10.4153/CJM-1953-004-2
6. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике, изд. 2-е. М.: Наука, 1978. 687 с.
7. Hill J.M., Arrigo D.J. New families of exact solutions for finitely deformed incompressible elastic materials // IMA Journal of Applied Mathematics ,1995. V. 54(2). P. 109–123. DOI:10.1093/imamat/54.2.109
8. Hill J.M., Arrigo D.J. Transformations and equation reductions in finite elasticity I: Plane strain deformations // Mathematics and Mechanics of Solids, 1996. V. 1. Iss.2. P. 155–175.
9. Zaburdaev V.Yu., Smirnov V.V., Chukbar K.V. Nonlinear dynamics of electron vortex lattices // Plasma Phys. Reports, 2014. V. 30. № 3. P. 214–217.
10. Жабборов Н.М., Коробов П.В., Имомназаров Х.Х. Применение дифференциальных тождеств Меграбова к уравнениям двухскоростной гидродинамики с одним давлением // Журн. Сибир. федер. университета (СФУ). Сер. Матем. и физ., 2012. Т. 5. № 2. С. 156–163.
11. Розендорн Э.Р. Некоторые классы частных решений уравнения и их приложение к задачам метеорологии // Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, 1984, №2, С. 56–58.
12. Розендорн Э.Р. Поверхности отрицательной кривизны. Итоги науки и техники. Сер. Соврем. проблемы математики. Фунд. направления, 1989. Т. 48. С. 98–195.
13. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.
14. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3. Ч. 1. М.: Гостехиздат, 1933. 1764 с.
15. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 399 с.
16. Хабиров С.В. Неизэнтропические одномерные движения газа, построенные с помощью контактной группы неоднородного уравнения Монжа – Ампера // Математический сборник, 1990. Т. 181. № 12. С. 1607–1622.
17. Фущич В.И., Штелень В.М., Серов Н.И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики. Киев: Наукова думка, 1989.
18. Ibragimov N.H. (ed.) CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 1, Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws. Boca Raton: CRC Press, 1994.
19. Polyanin A.D. Handbook of Exact Solutions to Mathematical Equations. Boca Raton: CRC Press, 2025.
20. Gutshabash E.S. Legendre transformation in the Born–Infeld model, Monge – Ampère equation and exact solutions // Journal of Mathematical Sciences, 2024. V. 284. P. 673–680. DOI:10.1007/s10958-024-07378-5
21. Feroze T., Umair M. Optimal system and exact solutions of Monge – Ampère equation //Communications in Mathematics and Applications,2021. V.12. №4. P.825–833. DOI:10.26713/cma.v12i4.1516
22. Aminov Yu., Arslan K., Bayram B., Bulca B., Murathan C., Öztürk G. On the solution of the Monge – Ampère equation with quadratic right side // Журн. матем. физ., анал., геом., 2011. Т. 7. № 3. P. 203–211.
23. Аминов Ю.А. О полиноминальных решениях уравнения Монжа – Ампера // Математиче-ский сборник, 2014. Т. 205. № 11. С. 3–38. DOI:10.4213/sm8356
24. Arrigo D.J., Hill J.M. On a class of linearizable Monge – Ampère equations // J. Nonlinear Math. Phys., 1998. V. 5. № 2. P. 115–119. DOI: 10.2991/jnmp.1998.5.2.1
25. Бакельман И.Я., Красносельский М.А. Нетривиальные решения задачи Дирихле для уравнений с операторами Монжа – Ампера // ДАН СССР, 1961. Т. 137. № 5. С. 1007–1010.
26. Фущич В.И., Серов Н.И. Симметрия и некоторые точные решения многомерного уравнения Монжа – Ампера // Докл. АН СССР, 1983. Т. 273. № 3. С. 543–546.
27. Leibov O.S. Reduction and exact solutions of the Monge – Ampère equation // Journal of Non-linear Mathematical Physics, 1997. V. 4. № 1–2. P. 146–148. DOI:10.2991/jnmp.1997.4.1-2.17
28. Fedorchuk V.M., Fedorchuk V.I. On the symmetry reduction of the (1+3)-dimensional inhomogeneous Monge – Ampère equation to algebraic equations // Journal of Mathematical Sciences, 2024. V. 282 (5). P. 1-10. DOI:10.1007/s10958-024-07208-8
29. Рахмелевич И.В. Многомерное уравнение Монжа – Ампера со степенными нелинейностями по первым производным // Вестн. Воронежского гос. ун-та. Сер. Физика. Математика, 2020. № 2. С. 86–98.
30. Косов А.А., Семенов Э.И. О многомерных точных решениях обобщенного уравнения Монжа – Ампера // Дифференциальные уравнения, 2024. Т. 60. № 10. С. 1334–1349.
31. Косов А.А., Семенов Э.И. Обобщенное уравнение типа Монжа – Ампера и его многомерные точные решения // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки, 2025. Т. 35. № 2. С. 215–230.
32. Dubinov A.E., Kitayev I.N. New exact solutions of the equation of non-linear dynamics of a lattice of electronic vortices in plasma in the framework of electron magnetohydrodynamics // Magnetohydrodynamics, 2020. V. 56. № 4. P. 369–375.
33. Рахмелевич И.В. Неавтономное эволюционное уравнение типа Монжа – Ампера с двумя пространственными перемнными // Известия вузов. Математика, 2023. № 2. С. 66–80.
34. Аксенов А.В., Полянин А.Д. Групповой анализ, редукции и точные решения уравнения Монжа – Ампера магнитной гидродинамики // Дифференциальные уравнения, 2024. Т. 60. № 6. С. 750–763.
35. Polyanin A.D., Aksenov A.V. Unsteady magnetohydrodynamics PDE of Monge–Ampère type: Symmetries, closed-form solutions, and reductions // Mathematics, 2024. V. 12. № 13. 2127.
36. Полянин А.Д. Точные решения и редукции нестационарных уравнений математической физики типа Монжа – Ампера // Вестник НИЯУ «МИФИ», 2023. Т. 12. № 5. С. 276–288.
37. Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2007.
38. Aksenov A.V., Polyanin A.D. Symmetries, reductions and exact solutions of nonstationary Monge – Ampère type equations // Mathematics, 2025. V. 13. № 3. 525. DOI:10.3390/math13030525
39. Zwillinger D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. San Diego: Academic Press, 1998.
40. Polyanin A.D. Exact Methods for Nonlinear PDEs. Boca Raton–London: Chapman and Hall/CRC Press, 2025.
41. Clarkson P.A., Fokas A.S., Ablowitz M.J. Hodograph transformations of linearizable partial differential equations // SIAM J. Appl. Math., 1989. V. 49. № 4. P. 1188–1209.
42. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. Boca Raton: CRC Press, 2018.
43. Polyanin A.D., Aksenov A.V. Geophysical Monge-Ampère-type equation: Symmetries and exact solutions // Mathematics, 2025. V. 13. № 21. 3522.
Рецензия
Для цитирования:
Полянин А.Д., Аксенов А.В. Точная линеаризация сильно нелинейных уравнений типа Монжа – Ампера. Вестник НИЯУ МИФИ. 2025;14(6):500-515. https://doi.org/10.26583/vestnik.2025.6.5. EDN: KREEFH
For citation:
Polyanin A.D., Aksenov A.V. Exact linearization of fully nonlinear Monge – Ampère type equations. Vestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI". 2025;14(6):500-515. (In Russ.) https://doi.org/10.26583/vestnik.2025.6.5. EDN: KREEFH
Просмотров:
23
Послать статью по эл. почте 