Метод функционального разделения переменных может дать больше точных решений, чем методы, основанные на одной дифференциальной связи
https://doi.org/10.1134/S2304487X19050067
Аннотация
Показано, что в некоторых случаях прямой метод функционального разделения переменных позволяет построить больше точных решений нелинейных уравнений математической физики, чем метод дифференциальных связей (с одной связью) и метод поиска неклассических симметрий (основанный на условии инвариантной поверхности). Указанный факт иллюстрируется на нелинейных реакционно-диффузионных уравнениях, на уравнениях конвективной диффузии с переменными коэффициентами, на нелинейных уравнениях типа Клейна–Гордона и уравнениях гидродинамического пограничного слоя. Приведены некоторые новые точные решения.
Ключевые слова
прямой метод функционального разделения переменных,
метод дифференциальных связей,
метод поиска неклассических симметрий,
прямой метод Кларксона–Крускала,
точные решения
При поддержке: Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации AAAA-A17-117021310385- 6) и при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 18-29-10025)
Об авторе
А. Д. Полянин
Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН; Национальный исследовательский ядерный университет “МИФИ”; Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана
Россия
Россия
119526
115409
105005
Москва
Список литературы
1. Полянин А. Д. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с переменными коэффициентами: Метод поиска точных решений в неявной форме / А. Д. Полянин // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2019. – Т. 8. – № 4. – С. 321–334.
2. Polyanin A. D. Construction of exact solutions in implicit form for PDEs: New functional separable solutions of non-linear reaction-diffusion equations with variable coefficients // Int. J. Non-Linear Mech. 2019. V. 111. P. 95–105.
3. Биркгоф Г. Гидродинамика / Г. Биркгоф. – М.: Иностранная литература, 1963.
4. Pucci E., Saccomandi G. Evolution equations, invariant surface conditions and functional separation of variables // Physica D. 2000. V. 139. P. 28–47.
5. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.
6. Яненко Н. Н. Теория совместности и методы интегрирования систем нелинейных уравнений в частных производных / Н. Н. Яненко // Труды IV Всесоюзного математического съезда. – Ленинград: Наука, 1964. – Т. 2. – С. 247–252.
7. Meleshko S. V. Differential constraints and one-parameter Lie–Bäcklund groups // Sov. Math. Dokl. 1983. V. 28. P. 37–41.
8. Galaktionov V. A. Quasilinear heat equations with first-order sign-invariants and new explicit solutions // Nonlinear Anal. Theor. Meth. Appl. 1994. V. 23. P. 1595–621.
9. Olver P. J. Direct reduction and differential constraints // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A. 1994. V. 444. P. 509–523.
10. Kaptsov O. V. Determining equations and differential constraints // Nonlinear Math. Phys. 1995. V. 2. № 3–4. P. 283–291.
11. Сидоров А. Ф. Метод дифференциальных связей и его приложения в газовой динамике / А. Ф. Сидоров, В. П. Шапеев, Н. Н. Яненко. – Новосибирск: Наука, 1984.
12. Andreev V. K., Kaptsov O. V., Pukhnachov V. V., Rodionov A. A. Applications of Group-Theoretical Methods in Hydrodynamics. Dordrecht: Kluwer, 1998.
13. Kaptsov O. V., Verevkin I. V. Differential constraints and exact solutions of nonlinear diffusion equations // J. Phys. A: Math. Gen. 2003. V. 36. P. 1401–1414.
14. Bluman G. W., Cole J. D. The general similarity solution of the heat equation // J. Math. Mech. 1969. V. 18. P. 1025–1042.
15. Levi D., Winternitz P. Nonclassical symmetry reduction: Example of the Boussinesq equation // J. Phys. A. 1989. V. 22. P. 2915–2924.
16. Nucci M. C., Clarkson P. A. The nonclassical method is more general than the direct method for symmetry reductions. An example of the Fitzhugh–Nagumo equation // Phys. Lett. A. 1992. V. 164. P. 49–56.
17. Clarkson P. A. Nonclassical symmetry reductions for the Boussinesq equation // Chaos, Solitons & Fractals. 1995. V. 5. P. 2261–2301.
18. Olver P. J., Vorob’ev E. M. Nonclassical and conditional symmetries. In: CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, Vol. 3 (ed. N. H. Ibragimov). Boca Raton: CRC Press, 1996, P. 291–328.
19. Clarkson P. A., Ludlow D. K., Priestley T. J. The classical, direct and nonclassical methods for symmetry reductions of nonlinear partial differential equations // Methods Appl. Anal. 1997. V. 4. № 2. P. 173–195.
20. Saccomandi G. A personal overview on the reduction methods for partial differential equations // Note di Matematica. 2004 / 2005. V. 23. № 2. P. 217–248.
21. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. – М.: Наука, 1978.
22. Ibragimov N. H. (ed.), CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations. Symmetries, Exact solutions and Conservation Laws, vol. 1. Boca Raton: CRC Press, 1994.
23. Кудряшов Н. А. Методы нелинейной математической физики / Н. А. Кудряшов. – Долгопрудный: Изд. Дом “Интеллект”, 2010.
24. Schlichting H. Boundary Layer Theory. New York: McGraw-Hill, 1981.
25. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Unsteady axisymmetric boundary-layer equations: Transformations, properties, exact solutions, order reduction and solution method // Int. J. Non-Linear Mech. 2015. V. 74. P. 40–50.
26. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Direct functional separation of variables and new exact solutions to axisymmetric unsteady boundary-layer equations // Commun. Non-linear Sci. Numer. Simulat. 2016. V. 31. P. 11–20.
27. Polyanin A. D., Zhurov A. I. One-dimensional reductions and functional separable solutions to unsteady plane and axisymmetric boundary-layer equations for non-Newtonian fluids // Int. J. Non-Linear Mech. 2016. V. 85. P. 70–80.
28. Clarkson P. A., Kruskal M. D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // J. Math. Phys. 1989. V. 30. P. 2201–2213.
29. Ludlow D. K., Clarkson P. A., Bassom A. P. New similarity solutions of the unsteady incompressible boundary-layer equations // Quart. J. Mech. and Appl. Math. 2000. V. 53. P. 175–206.
Рецензия
Для цитирования:
Полянин А.Д. Метод функционального разделения переменных может дать больше точных решений, чем методы, основанные на одной дифференциальной связи. Вестник НИЯУ МИФИ. 2019;8(5):445-452. https://doi.org/10.1134/S2304487X19050067
For citation:
Polyanin A.D. Method of Functional Separation of Variables Can Give More Exact Solutions than Methods Based on a Single Differential Constraint. Vestnik natsional'nogo issledovatel'skogo yadernogo universiteta "MIFI". 2019;8(5):445-452. (In Russ.) https://doi.org/10.1134/S2304487X19050067
Просмотров:
95
Послать статью по эл. почте 