МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Целью настоящей работы является исследование аналитических решений динамической модели с постоянным запаздыванием. Модели такого типа применяются в медико-биологических исследованиях, например, при исследовании распространения инфекций, распределения лекарственных веществ в организме.

Предложена модификация мультифракционной модели абсорбции (МФА-модели), включающая запаздывание, и получено ее аналитическое решение. Она позволяет адекватно моделировать распределение в крови лекарственных веществ, характеризующихся нестандартным механизмом абсорбции лекарственной формы при пероральном введении. По литературным данным о фармакокинетике лекарственного препарата суматриптан у добровольцев после приема внутрь 50 мг препарата рассчитано распределение вещества в крови с использованием предложенной МФА-модели с запаздыванием. Модель позволила адекватно описать распределение, характеризующееся двумя пиками концентрации препарата в крови.

1. Долгий Ю.Ф., Сурков П.Г. Математические модели динамических систем с запаздыванием: учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. ун-та, 2012.

2. Системы автоматического управления с за¬паздыванием: учебное пособие / Ю.Ю. Громов, Н.А. Зем¬ской, А.В. Лагутин, О.Г. Иванова, В.М. Тютюнник. Тамбов: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2007.

3. Бобцов А.А., Пыркин А.А. Адаптивное и робастное управление с компенсацией неопределенностей: учебное пособие. СПб.: НИУ ИТМО, 2013.

4. Гурецкий Х. Анализ и синтез систем управления с запаздыванием. М.: Машиностроение, 1973.

5. Плотников С.А., Семенов Д.М., Фрадков А.Л. Математическое моделирование систем управления. СПб: Университет ИТМО, 2021.

6. Хейл Дж. Теория функционально-дифферен¬циальных уравнений. М.: Мир, 1984.

7. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разност¬ные уравнения. М.: Мир, 1967.

8. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972.

9. Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М.: Наука, 1971.

10. Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB. СПб.: Лань, 2009.

11. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1988.

12. Хидиров Б.Н. Избранные работы по математическому моделированию регуляторики живых систем. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2014.

13. Ризниченко Г.Ю. Математическое моделирование биологических процессов. Модели в биофизике и экологии. М.: Юрайт, 2016.

14. Глаголев М.В., Сабреков А.Ф., Гончаров В.М. Дифференциальные уравнения с запаздыванием как математические модели динамики популяций // Динамика окружающей среды и глобальные изменения климата. 2018. Т. 9. № 2. С. 40–63.

15. Марчук Г.И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты. М.: Наука, 1991.

16. Мюррей Д. Математическая биология. Т. 1: Введение. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009.

17. Мюррей Д. Математическая биология. Т. 2: Пространственные модели и их приложения в биомедицине. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2011.

18. Математическое моделирование живых систем: учебное пособие / О.Э. Соловьева, В.С. Мар¬хасин, JI.Б. Кац¬нельсон, Т.Б. Сульман, А.Д. Ва¬сильева. Под общ. ред. О.Э. Соловьевой. Екатерин¬бург: Изд-во Урал. ун-та, 2013.

19. Baker C.T.H., Bocharov G.A., Paul C.A.H., Rihan F.A. Modelling and analysis of time-lags in some basic patterns of cell proliferation // J. Math. Biol. 1998. V. 37. P. 341–371.

20. Lee Joomi, Mi-sun Lim, Sook Jin Seong et al. Population pharmacokinetic analysis of the multiple peaks phenomenon in sumatriptan // Transl Clin Pharmacol, 2015. V. 23. № 2. P. 66–74.

21. Стребуляев С.Н., Воробьев Д.В. Параметрические колебания в линейных системах с запаздыванием: учебно-методическое пособие. Н. Новгород: НГУ, 2020.

22. Шилин А.А., Букреев В.Г., Койков К.И. Математическая модель нелинейной теплообменной системы с запаздыванием // В сб. трудов: XIX Международная научно-практическая конференция «Современные техника и технологии». Секция 10: Теплоэнергетика. 2013. С. 221–222.

23. Bischoff K.B., Dedrick R.L., Zaharko D.S., Longstreth J.A. Methotrexate pharmacokinetics // J. Pharm. Sci. 1971. Vol. 60. № 8. Р. 1128–1133.

24. Melchor Alpízar-Salazar, Miguel Alejandro Trejo-Rangel, José de Jesús Reséndiz-Rojas et. al. A modified compartmental pharmacokinetic model of enterohepatic circulation for simvastatin in healthy Mexican subjects. A pilot study // Journal of Pharmacy and Pharmacology Research. 2020. Vol. 4 (4). P. 103–115.

25. Gerner B., Scherf-Clavel O. Physiologically based pharmacokinetic modelling of cabozantinib to simulate enterohepatic recirculation, drug–drug interaction with rifampin and liver impairment // Pharmaceutics. 2021. Vol. 13. P. 773.

26. https://doi.org/10.3390/pharmaceutics13060778.

27. Ibarra M., Troconiz I.F., Fagiolino P. Enteric reabsorption processes and their impact on drug pharmacokinetics //Scientific Reports. 2021. Vol. 11. https://doi.org/10.1038/s41598-021-85174-w.

28. Kim T.H., Shin S., Landersdorfer C.B., et al. Population pharmacokinetic modeling of the enterohepatic recirculation of fimasartan in rats, dogs, and humans // The AAPS Journal. 2015. Vol. 17. № 5. Р. 1210–1223. doi: 10.1208/s12248-015-9764-2.

29. Funaki T. Enterohepatic circulation model for population pharmacokinetic analysis // J. Pharm. Pharmacol. 1999. V. 51. P. 1143–1148.

30. Steimer J.L., Plusquellec Y., Guillaume A., et al. A time-lag model for pharmacokinetics of drugs subject to enterohepatic circulation // Journal of Pharmaceutical Sciences. 1982. Vol. 71. P. 297–302.

31. Кирьянов Д.В. Mathcad 15 / Mathcad Prime 1.0. СПб.: БХВ-Петербург, 2012.

32. Takamatsu N., Welage L.S., Hayashi Y., et.al. Variability in cimetidine absorbtion and plasma double peaks following oral administration in the fasted state in humans: correlation with antral gastric motility // Eur. J. Pharmaceutics and Biopharmaceutics. 2002. Vol. 53. P. 37–47.

33. Murata K., Noda K., Kohno K., et. al. Pharmacokinetic analysis of concentration data of drugs with irregular absorption profiles using multi-fraction absorption models // J. Pharm. Sci. 1987. Vol. 76. P. 109–113.

34. Bergstrom R.F., Kay D.R., Harkcom T.M., Wagner J.G. Penicillamine kinetics in normal subjects // Clin. Pharmacol. Ther. 1981. Vol. 30. P. 404–413.

35. Lui C.Y., Oberle R., Fleisher D., Amidon G.L. Application of a radiotelemetric system to evaluate the performance of enteric coated and plain aspirin tablets // J. Pharm. Sci. 1986. Vol. 75. P. 469–474.

36. Hammarlund M.M., Paalzow L.K., Odlind B. Pharmacokinetics of furosemide in man after intravenous and oral administration. Application of moment analysis // Eur. J. Clin. Pharmacol. 1984. Vol. 26. P. 197–207.

37. Clements J.A., Heading R.C., Nimmo W.S., Prescott L.F. Kinetics of acetaminophen absorption and gastric emptying in man // Clin. Pharmacol. Ther. 1978. Vol. 24. P. 420–431.

38. Murata K., Tagawa K., Noda K., Kohno K., Samejima M. Pharmacokinetic analysis of single- or multiple-dose plasma drug concentration data with microcomputer using multi-fraction absorption models // J. Pharm. Sci. 1989. Vol. 78. P. 154–159.

39. Riad L.E., Chan K.K.H., Wagner W.E., Saw¬chuk R.J. Simultaneous firs- and zero-order absorption of carbamazepine tablets in humans // J. Pharm. Sci. 1986. Vol. 75. Р. 897–900.

40. Imbimo B.P., Daniotti S., Vidi A., et al. Discontinuous oral absorption of cimetropium bromide, a new antispasmodic drug // J. Pharm. Sci. 1986. Vol. 75. P. 680–684.

41. Полехина О.В., Образцов Н.В. Особенности математического моделирования фармакокинетики при пероральном приеме лекарственных средств // Материалы научно-практической конференции «Актуальные вопросы промышленной токсикологии» (Москва, 26–27 ноября, 2014). М.: Изд-во «Перо», 2014. С. 223–234.

42. Ide T., Sasaki Т., Maeda K., et al. Quantitative population pharmacokinetic analysis of pravastatin using an enterohepatic circulation model combined with pharmacogenomic information on SLCO1B1 and ABCC2 polymorphisms // The Journal of Clinical Pharmacology. 2009. Vol. 49 (11). P. 1309–1317.

43. Jain L., Woo S., Gardner E.R., Dahut W.L., Kohn E.C., Kummar S., et al. Population pharmacokinetic analysis of sorafenib in patients with solid tumours // British journal of clinical pharmacology. 2011. № 72(2). P. 294–305.

44. Ibarra M., Vazquez M., Fagiolino P. Population pharmacokinetic model to analyze nevirapine multiple-peaks profile after a single oral dose // Journal of pharmacokinetics and pharmacodynamics. 2014. Vol. 41(4). P. 363–373.