О редукции одной системы уравнений магнитной газодинамики к системам обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассматривается система уравнений магнитной газодинамики, учитывающая магнитную вязкость. В основе исследования системы лежит редукция систем уравнений с частными производными к системам обыкновенных дифференциальных уравнений (системам ОДУ). Независимой переменной в системах ОДУ является переменная ψ, где уравнение ψ(x y z t, , , ) = const задает поверхность уровня решений системы или функций, через которые решения системы выражаются. Для редукции рассматриваемой системы уравнений к системам ОДУ используются два подхода. В первом подходе уравнение ψ(x y z t, , , ) = const задает поверхность уровня решений системы (компонент вектора скорости и компонент вектора напряженности магнитного поля). Во втором подходе рассматриваются безвихревые движения плазмы, в которых компоненты вектора скорости являются производными некоторой функции Q = Q x y z t( , , , ). В этом случае уравнение ψ(x y z t, , , ) = const задает поверхность уровня функции Q = Q x y z t( , , , ) и компонент вектора напряженности магнитного поля. Найдены некоторые точные решения рассматриваемой системы уравнений в частных производных. Показано, что при определении поверхностей уровня в каждом из рассматриваемых подходов сохраняется функциональный произвол. Имеющийся функциональный произвол использован в задаче расположения линий тока потенциального течения плазмы и силовых линий магнитного поля на некоторой поверхности. Описан алгоритм получения такой поверхности.

1. Сорокина Е.А., Ильгисонис В.И. Уравнения равновесия плазмы в магнитном поле с трехмерными магнитными поверхностями // Физика плазмы, 2019. Т. 45. № 12. С. 1065–1071. https://doi.org/10.1134/S0367292119120084

2. Брушлинский К.В. Математические модели плазмы в проектах Морозова // Физика плазмы, 2019. Т. 45. № 1. С. 37–50. https://doi.org/10.1134/S0367292119010025

3. Брушлинский К.В. Численные модели течений ионизующегося газа // Энциклопедия низкотемпературной плазмы / ред. В.Е. Фортов. Сер. Б. Т. VII-1, ч. 2. М.: ЯНУС-К, 2008. С. 84–90.

4. Калиткин Н.Н., Костомаров Д.П. Математические модели физики плазмы (обзор) // Матем. моделирование. 2006. Т. 18. № 11. С. 67–94.

5. Meleshko S.V., Moyo S., Webb G.M. Solutions of generalized simple wave type of magnetic fluid // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2021. V. 103. https://doi.org/10.1016/j.cnsns.2021.105991

6. Пустовитов В.Д., Чукашов Н.В. Аналитическое решение внешней задачи равновесия плазмы эллиптического сечения в токамаке // Физика плазмы, 2021. Т. 47. № 10. С. 876–886. https://doi.org/10.31857/S0367292121100073

7. Ledentsov L.S., Somov B.V. Discontinuous plasma flows in magnetohydrodynamics and in the physics of magnetic reconnection // Physics-Uspekhi. 2015. V. 58. Issue 2. P. 107–133. https://doi.org/10.3367/UFNe.0185.201502a.0113

8. Ульянов О.Н., Рубина Л.И. О редукции одной системы уравнений в частных производных к системам обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник НИЯУ МИФИ. 2021. Т. 10. № 5. С. 418–428. https://doi.org/10.1134/S2304487X21050102

9. Ульянов О.Н., Рубина Л.И. О некоторых решениях одной системы уравнений плазмостатики // Вестник НИЯУ МИФИ. 2021. Т. 10. № 1. С. 12–18. https://doi.org/10.1134/S2304487X20060103

10. Полянин А.Д., Журов А.И. Методы разделения переменных и точные решения нелинейных уравнений математической физики. М.: Издательство “ИПМех РАН”, 2020. 384 с.

11. Clarkson P.A., Kruskal M.D. New similarity reductions of the Boussinesq equation // J. Math. Phys. 1989. V. 30. № 10. P. 2201–2213.

12. Clarkson P.A., Ludlow D.K., Priestley T.J. The classical, direct, and nonclassical methods for symmetry reductions of nonlinear partial differential equations // Methods and Applications of Analysis. 1997. V. 4. Issue 2. P. 173–195.

13. Сидоров А.Ф., Шапеев В.П., Яненко Н.Н. Метод дифференциальных связей и его приложения к газовой динамике. Новосибирск: Наука, 1984. 272 с.

14. Ovsiannikov L.V. Group Analysis of Differential Equations. N.Y.: Academic Press, 1982. 416 p.

15. Fushchych W. Ansatz’95 // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 1995. V. 2. Issue 3–4. P. 216–235. https://doi.org/10.2991/jnmp.1995.2.3-4.2

16. Курант Р. Методы математической физики. Т. 2. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.

17. Эйхенвальд А.А. Теоретическая физика. Москва; Ленинград: Государственное издательство, 1926. Ч. 1. Теория поля. 271 с.