Нелинейные волновые процессы в среде взаимодействующих частиц без учета столкновений

Аннотация

Рассматривается модель Ферми–Паста–Улама с учетом взаимодействия между частицами, которое выражается потенциалом четвертой и пятой степени. Выполнен предельный переход при стремлении расстояния между частицами к нулю, а числа частиц к бесконечности. Показано, что вместо известного уравнения Кортевега–де Вриза при учете квадратичного взаимодействия между частицами получается нелинейное уравнение в частных производных шестого порядка. Выведено эволюционное уравнение пятого порядка. Исследованы аналитические свойства полученных уравнений пятого и шестого порядков. Показано, что общее решение дифференциального уравнения пятого порядка, полученного при переходе к переменным бегущей волны, при разложении в ряд Лорана имеет четыре ветви. На втором шаге теста Пенлеве найдены индексы Фукса, два из которых являются комплексными числами. Установлено, что в общем случае уравнение не проходит тест Пенлеве, что соответствует тому, что задача Коши для полученного уравнения не решается методом обратной задачи рассеяния. С помощью метода простейших уравнений получены некоторые точные решения эволюционного уравнения пятого порядка. Построены графики точных решений в случае потенциалов взаимодействия между частицами четвертой и пятой степени.