Автоматизация построения многоугольников Ньютона, соответствующих обыкновенным дифференциальным уравнениям полиномиального вида

В работе представлено описание программы ACNP (automatic construction of Newton polygons), предназначенной для автоматического построения многоугольников Ньютона, соответствующих дифференциальным уравнениям полиномиального вида. Многоугольник Ньютона обыкновенного дифференциального уравнения представляет собой выпуклый многоугольник, вершинами которого являются внешние точки носителя дифференциального уравнения (носителем называется множество точек на плоскости, соответствующих по определенному правилу мономам дифференциального уравнения). Многоугольники Ньютона для обыкновенных дифференциальных уравнений полиномиального вида полезны при исследовании свойства интегрируемости нелинейных уравнений при помощи алгоритма Ковалевской, при построении асимптотических решений и при нахождении точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Автоматизация процесса построения многоугольников Ньютона позволяет в ряде случаев находить порядок полюса решения уравнения, выделять ведущие члены уравнения, ускорять процесс нахождения степенных асимптотик решений дифференциальных уравнений и упростить выбор простейшего уравнения при нахождении точных решений нелинейных дифференциальных уравнений. Программа ACNP написана в среде компьютерной алгебры Maple. В работе приведен алгоритм работы программы и примеры ее применения.

1. Ньютон И. Метод флюксий и бесконечных рядов с приложением его к геометрии кривых / И. Ньютон // Математические работы. – М.-Л.: ОНТИ, 1937. – С. 33–44.

2. Puiseux V. Recherches sur les fonctions algebriques // J. de math. pures et appl. 1850. P. 365–480.

3. Брюно А. Д. Асимптотика решений нелинейных систем дифференциальных уравнений / А. Д. Брюно // ДАН СССР. – 1962. – Т. 143. – Вып. 4. – С. 763–766.

4. Дёмина М. В. Метод многоугольников для построения точных решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений для описания волн на воде / М. В. Дёмина, Н. А. Кудряшов, Д. И. Синельщиков // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. – 2008. – Т. 48. – № 12. – С. 2151–2162.

5. Kudryashov N. A., Demina M. V. Polygons of differential equations for finding exact solutions // Chaos, Solitons & Fractals. 2007. V. 33. I. 5. P. 1480–1496.

6. Кудряшов Н. А. Степенные и нестепенные асимптотики решений обобщения второго и третьего уравнений Пенлеве / Н. А. Кудряшов, Д. И. Синельщиков // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2013. – Т. 2. – № 2. – С. 152–160.

7. Брюно А. Д. Асимптотики и разложения решений обыкновенного дифференциального уравнения / А. Д. Брюно // Успехи мат. Наук. – 2004. – Т. 59. – Вып. 3. – С. 31–80.

8. Кудряшов Н. А. Методы нелинейной математической физики / Н. А. Кудряшов. – Издательский дом “Интеллект”, 2010. – 368 с.

9. Кудряшов Н. А. Применение теста Пенлеве для нелинейного уравнения четвертого порядка при описании дислокаций / Н. А. Кудряшов, А. А. Кутуков // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2018. – Т. 7. – № 3. – С. 249–252.

10. Kudryashov N. A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations // Chaos, Solitons & Fractals. 2005. V. 24. I. 5. P. 1217–1231.

11. Kuramoto Y., Tsuzuki T. Persistent propagation of concentration waves in dissipative media far from thermal equilibrium // Prog. Theor. Phys. 1976. V. 55. № 2. P. 356–369.

12. Sivashinsky G. I. Instabilities, pattern formation, and turbulence in flames // Annu. Rev. Fluid Mech. 1983. V. 15. № 1. P. 179–199.