НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ОБЩЕГО ВИДА: МНОГОФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ, РЕДУКЦИИ И ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

Представлена новая математическая модель, основанная на нелинейном уравнении Шредингера с шестью произвольными функциями и позволяющая учитывать различные факторы. Эта многофункциональная модель является обобщением более простых родственных нелинейных моделей, которые часто встречаются в различных разделах теоретической физики, включая нелинейную оптику, сверхпроводимость и физику плазмы. Для анализа рассматриваемого нелинейного уравнения используется комбинация метода функциональных связей и методов обобщенного разделения переменных. Описаны одномерные несимметрийные редукции, приводящие исследуемое сложное уравнение в частных производных к более простым обыкновенным дифференциальным уравнениям или системам таких уравнений. Найден ряд точных решений нелинейного уравнения Шредингера общего вида, которые выражаются в квадратурах или элементарных функциях. Получены как периодические решения по времени, так и по пространственной переменной. Специальное внимание уделено некоторым более узким классам уравнений с меньшим числом произвольных функций. Описанная общая многофункциональная модель путем конкретизации вида произвольных функций позволяет эффективно анализировать многочисленные более простые модели и находить их точные решения. Полученные в данной работе точные решения могут использоваться в качестве тестовых задач, предназначенных для проверки адекватности и оценки точности численных и приближенных аналитических методов интегрирования нелинейных уравнений математической физики.

1. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. М: Мир, 1996.

2. Кившарь Ю.С., Агравал Г. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам. М: Физматлит, 2005.

3. Kodama Y., Hasegawa A. Nonlinear pulse propagation in a monomode dielectric guide // IEEE Journal of Quantum Electronics, 1987. V. 23. № 5. P. 510–524.

4. Drazin P.G., Johnson R.S. Solitons: An Introduction. Cambridge: Cambridge University Press, 1989.

5. Ablowitz M.J., Clarkson P.A. Solitons Nonlinear Evolution Equations and Inverse Scattering. Cambridge: Cambridge University Press, 1991.

6. Kivshar Yu.S., Malomed B.A. Dynamics of solitons in nearly integrable systems // Rev. Mod. Phys., 1989. V. 63. P. 763–915.

7. Ахманов С.А., Сухоруков А.П., Хохлов Р.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде // Успехи физических наук, 1967. Т. 93. № 1. С. 19–70.

8. Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. I. Anomalous dispersion // Applied Physics Letters, 1973. V. 23. № 3. P. 142–144.

9. Hasegawa A., Tappert F. Transmission of stationary nonlinear optical pulses in dispersive dielectric fibers. II. Normal dispersion // Applied Physics Letters, 1973. V. 23. № 4. P. 171–172.

10. Tai K., Hasegawa A., Tomita A. Observation of modulational instability in optical fibers // Physical Review Letters, 1986. V. 56. № 2. P. 135–138.

11. Weiss J., Tabor M., Carnevale G. The Painleve property for partial differential equations // J. Math. Phys., 1982. V. 24. № 3. P. 522–526.

12. Kudryashov N.A. Painlevé analysis of the resonant third-order nonlinear Schrödinger equation // Appl. Math. Letters, 2024. V. 158. 109232.

13. Kudryashov N.A. Painlevé analysis of the Sasa–Satsuma equation // Phys. Letters A, 2024. V. 525. 129900.

14. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.

15. Al Khawaja U., Al Sakkaf L. Handbook of Exact Solutions to the Nonlinear Schrödinger Equations. Bristol: Institute of Physics Publ., 2019.

16. Polyanin A.D. Handbook of Exact Solutions to Mathematical Equations. Boca Raton: CRC Press–Chapman & Hall, 2025.

17. Bullough R.K. Solitons // Physics Bulletin, 1978. V. 29. № 2. P. 78–82.

18. Kudryashov N.A. A generalized model for description of propagation pulses in optical fiber // Optik, 2019. V. 189. Р. 42- 52.

19. Kudryashov N.A. Solitary and periodic waves of the hierarchy for propagation pulse in optical fiber // Optik, 2019. V. 194. 163060.

20. Kudryashov N.A. Mathematical model of propagation pulse in optical fiber with power nonlinearities // Optik, 2020. V. 212. 164750.

21. Kudryashov N.A. Solitary waves of the non-local Schrödinger equation with arbitrary refractive index // Optik, 2021. V. 231. 166443.

22. Kudryashov N.A. Stationary solitons of the generalized nonlinear Schrödinger equation with nonlinear dispersion and arbitrary refractive insex // Applied Mathematics Letters, 2022, Vol. 128. 107888.

23. Kudryashov N.A. Almost general solution of the reduced higher-order nonlinear Schrödinger equation // Optik, 2021. V. 230. 66347.

24. Yildirim Y. Optical solitons to Schrodinger-Hirota equation in DWDM system with modified simple equation integration architecture // Optik, 2019. V. 182. P. 694–701.

25. Zayed E.M.E., Shohib R.M.A., Biswas A., Ekici M., Alshomrani A.S., Khan S., Zhou Q., Belic M.R. Dispersive solitons in optical fibers and DWDM networks with Schrodinger–Hirota equation // Optik, 2019. V. 199. 163214.

26. Zayed E.M.E., Shohib R.M.A., Alngar M.E.M., Biswas A., Moraru L., Khan S., Yildirim Y., Alshehri H.M., Belic M.R. Dispersive optical solitons with Schrodinger-Hirota model having multiplicative white noise via Ito Calculus // Physics Letters A: General, Atomic and Solid State Physics, 2022. V. 445. 128268.

27. Wang G., Kara A.H., Biswas A., Guggilla P., Alzahrani A.K., Belic M.R. Highly dispersive optical solitons in polarization-preserving fibers with Kerr law nonlinearity by Lie symmetry // Physics Letters A: General, Atomic and Solid State Physics, 2022. V. 421. 127768.

28. Biswas A., Hubert M.B., Justin M., Betchewe G., Doka S.Y., Crepin K.T., Ekici M., Zhou Q., Moshokoa S., Belic M. Chirped dispersive bright and singular optical solitons with Schrodinger–Hirota equation // Optik, 2018. V. 168. P. 192–195.

29. Zhou Q., Xu M., Sun Y., Zhong Y., Mirzazadeh M. Generation and transformation of dark solitons, anti-dark solitons and dark double-hump solitons // Nonlinear Dynamics, 2022. V. 110. № 2. P. 1747–1752.

30. Полянин А.Д., Кудряшов Н.А. Нелинейные уравнения Шредингера с запаздыванием: Точные решения, редукции и преобразования // Вестник НИЯУ МИФИ, 2024. Т. 13. № 5. С. 340–349.

31. Полянин А.Д., Кудряшов Н.А. Нелинейное уравнение Шредингера с дисперсией и потенциалом общего вида: Точные решения и редукции // Вестник НИЯУ МИФИ, 2024. Т. 13. № 6. С. 394- 402.

32. Polyanin A.D., Kudryashov N.A. Closed-form solutions of the nonlinear Schrödinger equation with arbitrary dispersion and potential // Chaos, Solitons & Fractals, 2025. V. 191. 115822.

33. Polyanin A.D., Kudryashov N.A. Nonlinear Schrödinger equations with delay: Closed-form and generalized separable solutions // Cont emporary Mathematics, 2024. V. 5. № 4. 5420245840.

34. Polyanin A.D., Zhurov A.I. Separation of Variables and Exact Solutions to Nonlinear PDEs. Boca Raton–London: CRC Press, 2022.

35. Michalska M., Klein M., Dlubek M. Dissipative soliton resonance in a normal dispersion all-polarization-maintaining thulium-doped fiber laser // Optics & Laser Technology, 2025. V. 181(B). 111895.

36. Saleem Q.M., Ebrahium M.M., Aly K.A., Saddeek Y.B. Optical properties of transition metals complex films derived from hydrazone oxime for optoelectronic devices // Journal of Molecular Structure, 2025. V. 1321. № 5. 140196.

37. Choi M.-R., Hong Y., Lee Y.-R.. Global existence versus finite time blowup dichotomy for the dispersion managed NLS // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications, 2025. V. 251. 113696.

38. Pashaev O.K., Lee J.H. Black holes and solutions of the quantized dispersionless NLS and DNLS equations // ANZIAM J., 2002. V. 44. № 1. P. 73–81.

39. Lee J.-H., Pashaev O.K., Rogers C., Schief W.K. The resonant nonlinear Schrodinger equation in cold plasma physics. Application of Backlund–Darboux transformations and superposition principles // Journal of Plasma Physics, 2007. V. 73. № 2. P. 257–272.

40. Lee J.-H., Pashaev O.K. Solitons of the resonant nonlinear Schrodinger equation with nontrivial boundary conditions: Hirota bilinear method // Theoretical and Mathematical Physics, 2007. V. 152. № 1. P. 991–1003.

41. Tala-Tebue E., Seadawy A.R. Construction of dispersive optical solutions of the resonant nonlinear Schrodinger equation using two different methods // Modern Physics Letters B, 2018. V. 32. № 33. 1850407.

42. Zhou Q., Wei C., Zhang H., Lu J., Yu H., Yao P., Zhu Q. Exact solutions to the resonant nonlinear Schrodinger equation with both spatio-temporal and inter-modal dispersions // Proc. Romanian Academy, Ser. A, 2016. V. 17. № 4. P. 307–313.

43. Eldidamony H.A., Arnous A.H., Nofal T.A., Yildirim Y. Optical soliton solutions in birefringent fibers with multiplicative white noise: an analysis for the perturbed Chen–Lee–Liu model // Nonlinear Dynamics, 2024. V. 112. № 24. P. 22295–22322.

44. Eslami M., Sharif A. Extended hyperbolic method to the perturbed nonlinear Chen-Lee-Liu equation with conformable derivative // Partial Differential Equations in Applied Mathematics, 2024. V. 11. 100838.

45. Lu W., Ahmad J., Akram S., Aldwoah K.A. Soliton solutions and sensitive analysis to nonlinear wave model arising in optics // Physica Scripta, 2024. V. 99. № 8. 085230.

46. Althrwi F.A., Alshaery A.A., Bakodah H.O., Nuruddeen R.I. Supplementary optical solitonic expressions for Gerdjikov-Ivanov equations with three Kudryashov-based methods // Communications in Theoretical Physics, 2024. V. 76. № 12. 125001.

47. Calogero F., Degasperis A. Spectral Transform and Solitons: Tools to Solve and Investigate Nonlinear Evolution Equations. Amsterdam, North Holland Publ., 1982.

48. Polyanin A.D., Nazaikinskii V.E. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, 2nd ed. Boca Raton–London: CRC Press, 2016.

49. Polyanin A.D., Zhurov A.I. Functional constraints method for constructing exact solutions to delay reaction-diffusion equations and more complex nonlinear equations // Commun. Nonlinear Sci. Numer. Simul., 2014. V. 19. № 3. P. 417–430.

50. Polyanin A.D., Zhurov A.I. The functional constraints method: Application to non-linear delay reaction-diffusion equations with varying transfer coefficients // Int. J. Non-Linear Mech., 2014. V. 67. P. 267–277.

51. Polyanin A.D., Sorokin V.G., Zhurov A.I. Delay Ordinary and Partial Differential Equations. Boca Raton–London: CRC Press, 2024.

52. Aksenov A.V., Polyanin A.D. Methods for constructing complex solutions of nonlinear PDEs using simpler solutions // Mathematics, 2021. V. 9. № 4. 345.

53. Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. Boca Raton–London: CRC Press, 2018.