Построение точных решений нелинейных дифференциальных уравнений методом расщепления

   Рассматриваются различные классы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Для построения точных решений в неявной форме используется метод расщепления, основанный на обобщенном разделении переменных. Основное внимание уделяется нелинейным уравнениям достаточно общего вида, которые содержат одну или несколько произвольных функций (важно отметить, что точные решения нелинейных дифференциальных уравнений, которые зависят от произвольных функций и поэтому обладают достаточной общностью, представляют наибольший практический интерес для тестирования численных и приближенных методов решения различных задач). Приведены примеры конкретных нелинейных уравнений и их точных решений. В отдельных случаях удается найти общие решения уравнений или понизить их порядок. Используемый подход допускает обобщение на нелинейные уравнения с частными производными. Для уравнений реакционно-диффузионного типа получены новые точные решения с функциональным разделением переменных.

1. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений : 8-е изд. / В. В. Степанова. – М.: Физматлит, 1959.

2. Murphy G. M. Ordinary Differential Equations and Their Solutions. New York: D. Van Nostrand, 1960.

3. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений : 2-е изд. / Н. М. Матвеев. – М.: Высшая школа, 1963.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям : 5-е изд. / Э. Камке. – М.: Наука, 1976.

5. Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление / Л. Э. Эльсгольц. – М.: Наука, 1969.

6. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Ordinary Differential Equations: Exact Solutions, Methods, and Problems. Boca Raton: CRC Press, 2018.

7. Polyanin A. D., Manzhirov A. V. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2007.

8. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка / Э. Камке. – М.: Наука, 1966.

9. Зайцев В. Ф. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. –.М.: Физматлит, 2003.

10. Тихонов А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. – М.: Наука, 1972.

11. Бабич В. М. Линейные уравнения математической физики / А. Н. Тихонов [и др.] – М.: Наука, 1964.

12. Корн Г. А. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. А. Корн, Т. М. Корн. – М.: Наука, 1968.

13. Polyanin A. D., Nazaikinskii V. E. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, 2nd ed. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2016.

14. Galaktionov V. A., Posashkov S. A., Svirshchevskii S. R. Generalized separation of variables for differential equations with polynomial nonlinearities // Differential Equations. 1995. V. 31. № 2. P. 233–240.

15. Полянин А. Д. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики / А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. – М.: Физматлит, 2005.

16. Galaktionov V. A., Svirshchevskii S. R. Exact solutions and invariant subspaces of nonlinear partial differential equations in mechanics and physics. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2007.

17. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, 2nd ed. Boca Raton: CRC Press, 2012.

18. Polyanin A. D. Construction of exact solutions in implicit form for PDEs: New functional separable solutions of non-linear reaction-diffusion equations with variable coefficients // Int. J. Non-Linear Mech. 2019. V. 111. P. 95–105.

19. Polyanin A. D. Construction of functional separable solutions in implicit form for non-linear Klein–Gordon type equations with variable coefficients // Int. J. Non-Linear Mech. 2019. V. 114. P. 29–40.

20. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Separation of variables in PDEs using nonlinear transformations: Applications to reaction-diffusion type equations // Applied Math. Letters. 2020. V. 100. 106055.

21. Полянин А. Д. Методы функционального разделения переменных и их применение в математической физике / А. Д. Полянин // Мат. моделирование и числ. методы. – 2019. – № 1. – С. 65–97.

22. Polyanin A. D. Functional separation of variables in nonlinear PDEs: General approach, new solutions of diffusion-type equations // Mathematics. 2020. V. 8. № 1. 90.

23. Malfliet W., Hereman W. The tanh method: exact solutions of nonlinear evolution and wave equations // Phys Scripta. 1996. V. 54. P. 563–568.

24. Parkes E. J., Duffy B. R. An automated tanh-function method for finding solitary wave solutions to non-linear evolution equations // Computer Physics Communications. 1996. V. 98. P. 288–300.

25. Fan E. Extended tanh-function method and its applications to nonlinear equations // Phys. Letters A. 2000. V. 277. № 4–5. P. 212–218.

26. Elwakila S. A., El-Labany S. K., Zahran M. A., Sabry R. Modified extended tanh-function method for solving nonlinear partial differential equations // Phys. Letters A. 2002. V. 299. № 2–3. P. 179–188.

27. Yan Z. The extended Jacobian elliptic function expansion method and its application in the generalized Hirota–Satsuma coupled KdV system // Chaos, Solitons & Fractals. 2003. V. 15. № 3. P. 575–583.

28. Wazwaz A.-M. The sine-cosine method for obtaining solutions with compact and noncompact structures // Appl. Math. & Comput. 2004. V. 159. № 2. P. 559–576.

29. Kudryashov N. A. Simplest equation method to look for exact solutions of nonlinear differential equations // Chaos, Solitons & Fractals, 2005. V. 24. № 5. P. 1217–1231.

30. Wazwaz A.-M. The tanh method and the sine-cosine method for solving the KP-MEW equation // Int. J. Computer Math. 2005. V. 82. № 2. P. 235–246.

31. He J. H., Wu X. H. Exp-function method for nonlinear wave equations // Chaos, Solitons & Fractals. 2006. V. 30. № 3. P. 700–708.

32. He J. H., Abdou M. A. New periodic solutions for non-linear evolution equation using Exp-method // Chaos Solitons & Fractals. 2007. V. 34. P. 1421–1429.

33. Bekir A., Boz A. Exact solutions for nonlinear evolution equations using Exp-function method // Phys. Letters A. 2008. V. 372. № 10. P. 1619–1625.

34. Chun C. Soliton and periodic solutions for the fifth-order KdV equation with the Exp-function method // Phys. Letters A. 2008. V. 372. № 16. P. 2760–2766.

35. Kudryashov N. A., Loguinova N. B. Extended simplest equation method for nonlinear differential equations // Appl. Math. & Comput. 2008. V. 205. № 1. P. 396–402.

36. Salas A. H. Exact solutions for the general fifth KdV equation by the exp function method // Appl. Math. & Comput. 2008. V. 205. № 1. P. 291–297.

37. Erbas B., Yusufoglu E. Exp-function method for constructing exact solutions of Sharma–Tasso–Olver equation // Chaos, Solitons & Fractals. 2009. V. 41. № 5. P. 2326–2330.

38. Kudryashov N. A., Loguinova N. B. Be careful with the Exp-function method // Commun. Nonlinear Science & Numer. Simulation. 2009. V. 14. № 5. P. 1881–189.

39. Zhang S., Tonga J. L., Wanga W. Exp-function method for a nonlinear ordinary differential equation and new exact solutions of the dispersive long wave equations // Comp. Math. Appl. 2009. V. 58. № 11–12. P. 2294–2299.

40. Parkes E. J. Observations on the tanh-coth expansion method for finding solutions to nonlinear evolution equations // Appl. Math. Comp. 2010. V. 217. № 4. P. 1749–1754.

41. Zhang L. The extended tanh method and the exp-function method to solve a kind of nonlinear heat equation // Math. Prob. Engng. 2010. V. 2010. 935873.

42. Полянин А. Д. Переопределенные системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами и их приложения / А. Д. Полянин // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2016. – Т. 5. – № 2. – С. 122–136.

43. Polyanin A. D., Shingareva I. K. Overdetermined systems of ODEs with parameters and their applications: The method of differential constraints and the generalized separation of variables in PDEs // Math. Advances in Pure & Appl. Sciences. 2018. V. 1. № 1. P. 1–22.

44. Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations, 2nd Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2003.

45. Полянин А. Д. Об одном методе построения точных решений нелинейных уравнений математической физики / А. Д. Полянин, А. И. Журов // Доклады Академии наук. – 2019. – Т. 489. – № 3. – С. 235–239.