Численное интегрирование нелинейных уравнений типа Клейна–Гордона с запаздыванием методом прямых

   Описываются качественные особенности численного интегрирования методом прямых начально-краевых задач для уравнений в частных производных с запаздыванием. Метод прямых основан на аппроксимации пространственных производных разностными аналогами, что позволяет свести исходное уравнение к приближенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Для решения полученной системы используются численные методы Рунге–Кутты второго и четвертого порядка и метод Гира, встроенные в программный пакет Mathematica. Сформулированы тестовые задачи для нелинейных уравнений типа Клейна–Гордона с постоянным запаздыванием, решения которых выражаются через элементарные функции. Проводится обширное сопоставление численных решений с точными решениями тестовых задач на значительном временном интервале интегрирования от 0 до 50 τ. Установлено, что при умеренных значениях времени запаздывания рассматриваемый численный метод обеспечивает высокую точность полученных результатов.

1. Брацун Д. А. К вопросу о численном расчете пространственно-распределенных динамических систем с запаздыванием по времени / Д. А. Брацун, А. П. Захаров // Вестник Пермского универ. Сер.: Математика. Механика. Информатика. – 2012. – Вып. 4. – № 12. – С. 32–41.

2. Полянин А. Д. Метод функциональных связей: Точные решения нелинейных реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием / А. Д. Полянин, А. И. Журов // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2013. – Т. 2. – № 4. – С. 425–431.

3. Bocharov G. A., Rihan F. A. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations // J. Comp. & Appl. Math. 2000. V. 125. P. 183–199.

4. Faria T., Trofimchuk S. Nonmonotone travelling waves in a single species reaction–diffusion equation with delay // J. Dif. Equations. 2006. V. 228. P. 357–376.

5. Herz A. V. M. et al. Viral dynamics in vivo: limitations on estimates of intracellular delay and virus decay // Proc. Nat. Acad. Sci, 1996. V. 93. P. 7247–7251.

6. Huang J., Zou X. Traveling wavefronts in diffusive and cooperative Lotka–Volterra system with delays // J. Math. Anal. Appl. 2002. V. 271. P. 455–466.

7. Kyrychko Y. N., Hogan S. J. On the use of delay equations in engineering applications // J. Vibration and Control. 2010. V. 16. № 7–8. P. 943–960.

8. Mittler J. E. et al. Influence of delayed viral production on viral dynamics in HIV-1 infected patients // Mathematical Biosciences. 1998. V. 152. P. 143–163.

9. Nelson P. W., Perelson A. S. Mathematical analysis of delay differential equation models of HIV-1 infection // Mathematical Biosciences. 2002. V. 179. P. 73–94.

10. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Exact separable solutions of delay reaction–diffusion equations and other nonlinear partial functional-differential equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. V. 19. P. 409–416.

11. Shakeri F., Dehghan M. Solution of delay differential equations via a homotopy perturbation method // Mathematical and Computer Modelling. 2008. V. 48. P. 486–498.

12. Walter H. O. Topics in Delay Differential Equations // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. 2014. V. 116. № 2. P. 87–114.

13. Wu J. H. Introduction to neural dynamics and signal transmission delay. Berlin: de Gruyter, 2002.

14. Wu J., Zou X. Travelling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay // J. Dynamics & Dif. Equations. 2001. V. 13. № 3. P. 651–687.

15. Lu J. G. Global exponential stability and periodicity of reaction–diffusion delayed recurrent neural networks with Dirichlet boundary conditions // Chaos, Solitons and Fractals. 2008. V. 35. P. 116–125.

16. Wu J., Campbell S. A., Bélair J. Time-Delayed Neural Networks: Stability and Oscillations // Encyclopedia of Computational Neuroscience. N. Y.: Springer, 2014. P. 1–8.

17. Wang L., Gao Y. Global exponential robust stability of reaction–diffusion interval neural networks with time-varying delays // Phys. Lett. A. 2006. V. 350. P. 342–348.

18. Полянин А. Д. Реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием: математические модели и качественные особенности / А. Д. Полянин, В. Г. Сорокин // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2017. – Т. 6. – № 1. – С. 41–55.

19. Полянин А. Д. Реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием: численные методы и тестовые задачи / А. Д. Полянин, В. Г. Сорокин // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2017. – Т. 6. – № 2. – С. 126–142.

20. Van der Houwen P. J., Sommeijer B. P., Baker C. T. H. On the stability of predictor-corrector methods for parabolic equations with delay // IMA J. Numerical Analysis. 1986. V. 6. P. 1–23.

21. Пименов В. Г. Численные методы решения уравнения теплопроводности с запаздыванием / В. Г. Пименов // Вестн. Удмурт. ун-та. матем. мех. компьют. науки. – 2008. – № 2. – С. 113–116.

22. Rihan F. A. Computational methods for delay parabolic and time-fractional partial differential equations // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2010. V. 26. P. 1556–1571.

23. Wolfram Language Documentation [Электронный ресурс] // Delay Differential Equations. URL: http://reference.wolfram.com/mathematica/tutorial/NDSolveDelayDifferentialEquations.html (дата обращения 20. 02. 2019).

24. Maple Programming Help [Электронный ресурс] // Numeric Delay Differential Equation Examples. URL: http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=examples/NumericDDEs (дата обращения 20. 02. 2019).

25. MATLAB Documentation [Электронный ресурс] // Delay Differential Equations. URL: http://www.mathworks.com/help/matlab/delay-differential-equations.html (дата обращения 20. 02 .2019).

26. Крайнов А. Ю. Численные методы решения задач тепло- и массопереноса / А. Ю. Крайнов, Л. Л. Миньков. – Томск: STT, 2016. – 92 с.

27. Wolfram Language Documentation [Электронный ресурс] // The Numerical Method of Lines. URL: http://reference.wolfram.com/language/tutorial/NDSolveMethodOfLines.html (дата обращения 20. 02. 2019).

28. Wolfram Language Documentation [Электронный ресурс] // NDSolve. URL: http://reference.wolfram.com/language/ref/NDSolve.html (дата обращения 20. 02. 2019).

29. Wolfram Language Documentation [Электронный ресурс] // “ExplicitRungeKutta” Method for NDSolve. URL: http://reference.wolfram.com/language/tutorial/NDSolveExplicitRungeKutta.html (accessed: 20. 02. 2019).

30. Wolfram Language Documentation [Электронный ресурс] // “ImplicitRungeKutta” Method for NDSolve. URL: http://reference.wolfram.com/language/tutorial/NDSolveImplicitRungeKutta.html (accessed: 20. 02. 2019).

31. Wolfram Language Documentation [Электронный ресурс] // IDA Method for NDSolve. URL: http://reference.wolfram.com/language/tutorial/NDSolveIDAMethod.html (дата обращения 20. 02. 2019).

32. Wolfram Language Documentation [Электронный ресурс] // Numerical Solution of Differential Equations. URL: http://reference.wolfram.com/language/tutorial/NumericalSolutionOfDifferentialEquations.html (дата обращения 20. 02. 2019).

33. Hindmarsh A., Taylor A. User Documentation for IDA: A Differential-Algebraic Equation Solver for Sequential and Parallel Computers. 1999.

34. Brown P. N., Hindmarsh A. C., Petzold L. R. Using Krylov Methods in the Solution of Large-Scale Differential-Algebraic Systems // SIAM J. Scientific Computing. 1994. V. 15. P. 1467–1488.

35. Brown P. N., Hindmarsh A. C., Petzold L. R. Consistent Initial Condition Calculation for Differential-Algebraic Systems // SIAM J. Scientific Computing. 1998. V. 19. P. 1495–1512.

36. Wolfram Language Documentation [Электронный ресурс] // Norms in NDSolve. URL: http://reference.wolfram.com/language/tutorial/NDSolveVectorNorm.html (accessed: 20. 02. 2019).

37. Bellen A., Zennaro M. Numerical Methods for Delay Differential Equations. Oxford: Oxford University Press, 2013.

38. Liu H., Sun G. Implicit Runge–Kutta methods based on Lobatto quadrature formula // Int. J. Computer Mathematics. 2005. V. 82. № 1. P. 77–88.

39. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие и дифференциально-алгебраические задачи / Э. Хайрер, Г. Ваннер. – М.: Мир, 1999. – 685 с.

40. Сорокин В. Г. Численное интегрирование нелинейных задач реакционно-диффузионного типа с запаздыванием методом прямых / В. Г. Сорокин, А. Д. Полянин // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2018. – Т. 7. – № 3. – С. 211–227.

41. Paul C. A. H. Developing a delay differential equation solver // Appl. Numer. Math. 1992. V. 9. P. 403–414.

42. Baker C. T. H., Paul C. A. H. Issues in the numerical solution of evolutionary delay differential equations // Adv. Comput. Math. 1995. V. 3. P. 171–196.

43. Shampine L. F., Thompson S. Numerical Solutions of Delay Differential Equations. In: Delay Differential Equations: Recent Advances and New Directions. N. Y.: Springer, 2009. P. 245–271.

44. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Non-linear instability and exact solutions to some delay reaction-diffusion systems // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2014. V. 62. P. 33–40.

45. Полянин А. Д. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения гиперболического типа с запаздыванием: точные решения, глобальная неустойчивость / А. Д. Полянин, В. Г. Сорокин, А. В. Вязьмин // Мат. моделирование и числ. методы. – 2014. – № 4. – С. 53–73.

46. Polyanin A. D., Zhurov A. I. New generalized and functional separable solutions to nonlinear delay reaction-diffusion equations // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2014. V. 59. P. 16–22.

47. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Nonlinear delay reaction–diffusion equations with varying transfer coefficients: Exact methods and new solutions // Appl. Math. Lett. 2014. V. 37. P. 43–48.

48. Полянин А. Д. Нелинейные реакционно-диффузионные уравнения с запаздыванием и переменными коэффициентами переноса: решения с обобщенным и функциональным разделением переменных / А. Д. Полянин, А. И. Журов // Мат. моделирование и числ. методы. – 2015. – № 4 (8). – С. 3–37.

49. Polyanin A. D. Exact generalized separable solutions to nonlinear delay reaction-diffusion equations // Theor. Found. Chem. Eng. 2015. V. 49. № 1. P. 107–114.

50. Polyanin A. D. Exact solutions to new classes of reaction-diffusion equations containing delay and arbitrary functions // Theor. Found. Chem. Eng. 2015. V. 49. № 2. P. 169–175.

51. Сорокин В. Г. Точные решения некоторых нелинейных обыкновенных дифференциально-разностных уравнений / В. Г. Сорокин // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2015. – Т. 4. – № 6. – С. 493–500.

52. Polyanin A. D., Sorokin V. G. Nonlinear delay reaction-diffusion equations: Traveling-wave solutions in elementary functions // Appl. Math. Lett. 2015. V. 46. P. 38–43.

53. Сорокин В. Г. Точные решения некоторых нелинейных уравнений и систем уравнений в частных производных с запаздыванием / В. Г. Сорокин // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2016. – Т. 5. – № 3. – С. 199–219.

54. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Exact solutions of linear and nonlinear differential-difference heat and diffusion equations with finite relaxation time // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2013. V. 54. P. 115–126.

55. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Exact solutions of nonlinear differential-difference equations of a viscous fluid with finite relaxation time // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2013. V. 57. P. 116–122.

56. Polyanin A. D., Sorokin V. G., Vyazmin A. V. Exact solutions and qualitative features of nonlinear hyperbolic reaction-diffusion equations with delay // Theor. Found. Chem. Eng. 2015. V. 49. № 5. P. 622–635.

57. Polyanin A. D. Functional separable solutions of nonlinear reaction–diffusion equations with variable coefficients // Appl. Math. and Comput. 2019. V. 347. P. 282–292.

58. Polyanin A. D. Generalized traveling-wave solutions of nonlinear reaction–diffusion equations with delay and variable coefficients // Appl. Math. Lett. 2019. V. 90. P. 49–53.

59. Polyanin A. D., Zhurov A. I. Functional constraints method for constructing exact solutions to delay reaction-diffusion equations and more complex nonlinear equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2014. V. 19. № 3. P. 417–430.

60. Polyanin A. D., Zhurov A. I. The functional constraints method: Application to non-linear delay reaction-diffusion equations with varying transfer coefficients // Int. J. Non-Linear Mechanics. 2014. V. 67. P. 267–277.

61. Полянин А. Д. Некоторые методы построения точных решений нелинейных реакционно-диффузионных уравнений с запаздывающим аргументом и переменными коэффициентами переноса / А. Д. Полянин, А. И. Журов // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2015. – Т. 4. – № 2. – С. 107–118.

62. Polyanin A. D., Zhurov A. I. The generating equations method: Constructing exact solutions to delay reaction-diffusion systems and other non-linear coupled delay PDEs // Int. J. Non-Linear Mechan. 2015. V. 71. P. 104–115.

63. Полянин А. Д. Об устойчивости и неустойчивости решений реакционно-диффузионных и более сложных нелинейных уравнений с запаздыванием / А. Д. Полянин, В. Г. Сорокин // Вестник НИЯУ “МИФИ”. – 2018. – Т. 7. – № 5. – С. 389–404.